Момент інерції диска. Явище інерції

Багато люди помічали: коли вони їдуть в автобусі, і він збільшує свою швидкість, їхні тіла притискаються до крісла. І навпаки, при зупинці транспортного засобу пасажирів ніби викидає з посадкових місць. Все це відбувається за інерцією. Розглянемо це явище, а також пояснимо, що таке момент інерції диска.

Що являє собою інерція?

Під інерцією у фізиці розуміють здатність усіх тіл, що володіє масою, зберігати покоящееся стан або рухатися з однаковою швидкістю в одному і тому ж напрямку. Якщо необхідно змінити механічний стан тіла, то доводиться прикладати деяку зовнішню силу до нього.

В цьому визначенні слід звернути увагу на два моменти:

  • По-перше, це питання стану спокою. У загальному випадку такого стану не існує в природі. Все в ній знаходиться у постійному русі. Тим не менше, коли ми їдемо в автобусі, то нам здається, що водій не рухається зі свого місця. У такому разі йдеться про відносність руху, тобто щодо пасажирів водій перебуває в спокої. Відмінність між станами спокою і рівномірного руху полягає лише в системі відліку. У прикладі вище пасажир у стані спокою відносно автобуса, в якому їде, але рухається відносно зупинки, яку проїжджає.
  • По-друге, інерція тіла пропорційна його масі. Спостережувані нами об’єкти в життя всі мають ту чи іншу масу, тому всі вони характеризуються деякою інертністю.

Таким чином, інерція характеризує ступінь труднощі зміни стану руху (спокою) тіла.

Інерція. Галілей і Ньютон

Коли вивчають питання інерції у фізиці, то як правило, пов’язують її з першим ньютонівським законом. Цей закон говорить:

Будь-яке тіло, на яке не діють зовнішні сили, зберігає свій стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху.

Вважається, що цей закон сформулював Ісаак Ньютон, і сталося це в середині XVII століття. Зазначений закон справедливий завжди і у всіх процесах, що описуються класичною механікою. Але коли йому приписують прізвище англійського вченого, слід зробити деяку застереження…

Дивіться також:  Ідеальна рідина і рівняння, що описують її рух

У 1632 році, тобто за кілька десятків років до постулирования закону інерції Ньютоном, італійський вчений Галілео Галілей в одній з своїх робіт, в якій він порівнював системи світу Птолемея і Коперника, по суті, сформулював 1-й закон Ньютона!

Галілей говорить, що якщо тіло рухається по гладкій горизонтальній поверхні, і силами тертя і опору повітря можна знехтувати, то цей рух буде зберігатися вічно.

Обертальний рух

Наведені вище приклади розглядають явище інерції з точки зору прямолінійного переміщення тіла в просторі. Однак існує ще один тип руху, який поширений у природі та Всесвіту — це обертання навколо точки або осі.

Маса тіла характеризує його інерційні властивості поступального руху. Для опису же аналогічного властивості, яке проявляє себе при обертанні, вводять поняття моменту інерції. Але перед тим як розглядати цю характеристику, слід познайомитися з самим обертанням.

Кругове переміщення тіла навколо осі або точки описується двома важливими формулами. Нижче вони наводяться:

1) L = I*ω;

2) dL/dt = I*α = M.

У першій формулі L — це момент імпульсу, I — момент інерції, ω — кутова швидкість. У другому виразі α — це кутове прискорення, що дорівнює похідній за часом від кутової швидкості ω, M — момент сили системи. Він розраховується як добуток результуючої зовнішньої сили на плече, до якого вона прикладена.

Перша формула описує обертальний рух, друга — його зміну в часі. Як видно, в обох цих формулах присутній момент інерції I.

Момент інерції

Спочатку наведемо його математичну формулювання, а потім пояснити фізичний зміст.

Отже, момент інерції I розраховується наступним чином:

I = ∑i(mi*ri2).

Якщо перекласти цей вираз з математичного на російську мову, то воно означає наступне: усе тіло, яке має деяку вісь обертання O, розбивається на дрібні «объемчики» масою mi, що знаходяться на відстані ri від осі O. Момент інерції розраховується шляхом зведення в квадрат відстані, його множення на відповідну масу mi і додавання всіх отриманих доданків.

Дивіться також:  Марі полюбила Хуана або комусь подарувати квіти Мері Джейн

Якщо розбити все тіло на нескінченно малі «объемчики», тоді сума вище буде прагнути до наступного інтегралу за обсягом тіла:

I = ∫V(ρ *r2dV), де ρ — щільність речовини тіла.

З наведеного математичного визначення випливає, що момент інерції I залежить від трьох важливих параметрів:

  • від значення маси тіла;
  • від розподілу маси в тілі;
  • від положення осі обертання.

Фізичний зміст моменту інерції полягає в тому, що він характеризує, наскільки «важко» привести в рух обертання дану систему або змінити її швидкість обертання.

Момент інерції однорідного диска

Отримані в попередньому пункті знання застосовні для розрахунку моменту інерції однорідного циліндра, який у випадку h

Для вирішення поставленої задачі достатньо розрахувати інтеграл по об’єму тіла. Випишемо вихідну формулу:

I = ∫V(ρ *r2dV).

Якщо вісь обертання проходить перпендикулярно до площини диска через його центр, тоді можна уявити цей диск у вигляді нарізаних дрібних кілець, товщина кожного з них є дуже малою величиною dr. У цьому разі обсяг такого колечка можна розрахувати так:

dV = 2*pi*r*h*dr.

Це рівність дозволяє інтеграл за обсягом замінити на інтегрування по радіусу диска. Маємо:

I = ∫r(ρ *r2*2*pi*r*h*dr) = 2*pi*h*ρ*∫r(r3*dr).

Обчислюючи первообразную подынтегрального вирази, а також враховуючи, що інтегрування проводиться по радіусу, який змінюється від 0 до r, отримуємо:

I = 2*pi*h*ρ*r4/4 = pi*h*ρ*r4/2.

Оскільки маса даного диска (циліндра) дорівнює:

m = ρ*V і V = pi*r2*h,

то отримуємо кінцеве рівність:

I = m*r2/2.

Ця формула моменту інерції диска справедлива для будь-якого однорідного циліндричного тіла довільної товщини (висоти), вісь обертання якого проходить через його центр.

Різні види циліндрів і положення осей обертання

Аналогічне інтегрування можна провести для різних тіл циліндричної форми і абсолютно будь-якого положення осей обертання і отримати момент інерції для кожного випадку. Нижче наводиться список часто зустрічаються ситуацій:

  • кільце (вісь обертання — центр мас): I = m*r2;

  • циліндр, який описується двома радіусами (зовнішнім і внутрішнім): I = 1/2*m(r12+r22);
  • однорідний циліндр (диск) висотою h, вісь обертання якого проходить через центр мас паралельно площинам його заснування: I = 1/4*m*r12+1/12*m*h 2.
Дивіться також:  Формули і властивості правильної трикутної піраміди. Усічена трикутна піраміда

З усіх цих формул випливає, що при однаковій масі m найбільшим моментом інерції I має кільце.

Де використовують інерційні властивості обертового диска: маховик

Найбільш яскравим прикладом застосування моменту інерції диска є маховик в автомобілі, який жорстко з’єднаний з коленвалом. Завдяки наявності такого масивного атрибута забезпечується плавність руху автомобіля, тобто маховик згладжує будь-які моменти сил імпульсивного характеру, які діють на коленвал. Більш того, цей важкий металевий диск здатний запасати величезну енергію, забезпечуючи тим самим інерційний рух транспортного засобу навіть при заглушеному двигуні.

В даний час інженери деяких автомобільних компаній працюють над проектом використання маховика в якості накопичувача енергії гальмування транспортного засобу з метою її подальшого використання при прискоренні авто.

Інші поняття про інерції

Хотілося б завершити статтю кількома словами про інших «инерциях», відмінних від розглянутого явища.

У тій же фізиці існує поняття про температурної інерції, яка характеризує, наскільки «важко» нагріти або охолодити дане тіло. Температурна інерція прямо пропорційна теплоємності.

У більш широкому філософському сенсі інерція описує складність зміни якого-небудь стану. Так, інертним людям складно починати робити щось нове з-за ліні, звички до рутинного способу життя і зручності. Здається, краще залишити речі такими, які вони є, бо так жити значно простіше…