Момент обертання і момент інерції: формули, приклад розвязання задачі

Тіла, що роблять кругові рухи, у фізиці прийнято описувати за допомогою формул, що включають в себе кутову швидкість і кутове прискорення, а також такі величини, як моменти обертання, сил інерції. Розглянемо докладніше ці поняття у статті.

Момент обертання відносно осі

Цю фізичну величину називають моментом імпульсу. Слово «момент» означає, що при визначенні відповідної характеристики враховується положення осі обертання. Так, момент імпульсу частинки масою m, яка обертається зі швидкістю v навколо осі O і знаходиться від останньої на відстані r, описується наступною формулою:

L = r*m*v = r*p, де p — імпульс частинки.

Знак » + » вказує на векторний характер відповідної величини. Напрямок вектора моменту обертання L визначається за правилом правої руки (чотири пальці спрямовані від кінця вектора r до кінця p, і відставлений великий палець показує, куди буде спрямований L). Направлення всіх названих векторів можна подивитися на головному фото статті.

При вирішенні практичних завдань користуються формулою для моменту імпульсу у формі скалярної. Крім того, лінійну швидкість замінюють кутовий. У цьому випадку формула для L буде виглядати так:

L = m*r2*ω, де ω = v*r — кутова швидкість.

Величина m*r2 позначається буквою I і називається моментом інерції. Вона характеризує інерційні властивості системи обертання. У загальному вигляді вираз для L записується так:

L = I*ω.

Ця формула справедлива не тільки для обертової частинки масою m, але і для будь-якого тіла довільної форми, яке здійснює кругові переміщення відносно деякої осі.

Момент інерції I

У загальному випадку введена в попередньому пункті величина I розраховується за формулою:

I = ∑i(mi*ri2).

Тут i вказує на номер елемента з масою mi, розташованому від осі обертання на відстані ri. Цей вираз дозволяє зробити розрахунок для неоднорідного тіла довільної форми. Для більшості ідеальних об’ємних геометричних фігур цей розрахунок вже зроблений, і отримані значення моменту інерції внесені у відповідну таблицю. Наприклад, для однорідного диска, який здійснює кругові рухи навколо осі, перпендикулярної до його площині і проходить через центр мас, I = m*r2/2.

Дивіться також:  Вектори на площині і в просторі: формули та приклади

Щоб зрозуміти фізичний зміст моменту інерції обертання I, слід відповісти на питання, щодо якої осі легше розкрутити швабру: тієї, яка проходить вздовж швабри або тієї, яка їй перпендикулярна? У другому випадку доведеться докласти більше зусиль, оскільки момент інерції для цього положення швабри має більшу величину.

Закон збереження величини L

Зміна моменту обертання в часі описується наведеною нижче формулою:

dL/dt = M, де M = r*F.

Тут M — це момент результуючої зовнішньої сили F, прикладеної до плеча r відносно осі обертання.

Формула показує, якщо M=0, тоді зміна моменту імпульсу L не буде відбуватися, тобто він буде залишатися скільки завгодно тривалий час незмінним незалежно від внутрішніх змін в системі. Цей випадок записують у вигляді виразу:

I1*ω1 = I2*ω2.

Тобто будь-які зміни всередині системи моменту I будуть призводити до змін кутової швидкості ω таким чином, що їх добуток буде залишатися постійним.

Прикладом прояву цього закону є спортсмен у фігурному катанні, який, викидаючи руки і притискаючи їх до тіла, змінює свій I, що відбивається на зміні його швидкості обертання ω.

Завдання на обертання Землі навколо Сонця

Вирішимо одну цікаву задачу: використовуючи наведені вище формули, необхідно розрахувати момент обертання нашої планети по орбіті.

Оскільки тяжіння інших планет можна знехтувати, а також враховуючи, що момент гравітаційної сили, що діє з боку Сонця на Землю, дорівнює нулю (плече r=0), то L=const. Для обчислення L скористаємося наступними виразами:

L = I*ω; I = m*r2; ω = 2*pi/T.

Тут ми прийняли, що Землю можна вважати матеріальною точкою з масою m=5,972*1024 кг, оскільки її розміри набагато менше відстані до Сонця r=149,6 млн км T = 365,256 дні — період обертання планети навколо своєї зірки (1 рік). Підставляючи всі дані у вираз вище, отримуємо :

L = I*ω = 5,972*1024*(149,6*109)2*2*3,14/(365,256*24*3600) = 2,66*1040 кг*м2/с.

Розраховане значення моменту імпульсу є гігантським, що обумовлено великою масою планети, високою швидкістю її обертання по орбіті і величезним астрономічним відстанню.

Дивіться також:  Дозиметр: види, характеристики, вимірювання радіації