Що таке еліпс: формула довжини кола еліпса

В астрономії, коли розглядають рух космічних тіл по орбітах, часто застосовують поняття «еліпс», оскільки їх траєкторії характеризуються саме цієї кривої. Розглянемо у статті, що являє собою зазначена фігура, а також наведемо формулу довжини еліпса.

Що таке еліпс?

Згідно математичного визначенням, еліпс — це замкнена крива, для якої сума відстаней від будь-якої її точки до двох інших визначених точок, що лежать на головній осі, і носять назву фокусів, є постійною величиною. Нижче наведено малюнок, який пояснює це визначення.

На малюнку сума відстаней PF’ і PF дорівнює 2 * a, тобто PF’ + PF = 2 * a, де F’ і F — фокуси еліпса, «a» — довжина великої півосі. Відрізок BB’ називається малою піввіссю, а відстань CB = CB’ = b — довжина малої півосі. Тут точка C визначає центр фігури.

На малюнку вище також показаний простий метод із мотузкою та двома цвяшками, який широко використовується для зображення еліптичних кривих. Інший спосіб отримати цю фігуру полягає у виконанні перерізу конуса під будь-яким кутом до його осі, який не дорівнює 90o.

Якщо еліпс обертати уздовж однієї з його двох осей, то він утворює об’ємну фігуру, яка зазывается сфероидом.

Формула довжини кола еліпса

Хоча розглянута фігура є досить простою, довжину її кола точно можна визначити, якщо обчислити так звані еліптичні інтеграли другого роду. Однак, індуський математик-самоучка Рамануджана ще на початку XX століття запропонував досить просту формулу довжини еліпса, яка наближається до результату означених інтегралів знизу. Тобто розраховане по ній значення розглянутої величини буде трохи менше, ніж реальна довжина. Ця формула має вигляд: P ≈ pi * [3 * (a+b) — √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], де pi = 3,14 — число пі.

Дивіться також:  Ідеальна рідина і рівняння, що описують її рух

Наприклад, нехай довжини двох півосей еліпса дорівнюють a = 10 см і b = 8 см, тоді його довжина P = 56,7 див.

Кожен може перевірити, що якщо a = b = R, тобто розглядається звичайна окружність, тоді формула Рамануджана зводиться до вигляду P = 2 * pi * R.

Відзначимо, що в шкільних підручниках часто наводиться інша формула: P = pi * (a + b). Вона є більш простою, але і менш точною. Так, якщо її застосувати для розглянутого випадку, то отримаємо значення P = 56,5 див.