Що таке змінні? Змінна величина у математиці

Значення змінних в математиці велике, адже за час її існування науковці встигли зробити безліч відкриттів у цій галузі, і, щоб коротко і ясно викласти ту чи іншу теорему, ми користуємося змінними для запису відповідних формул. Наприклад, теорема Піфагора про прямокутному трикутнику: a2 = b2 + c2. Ніж кожен раз при вирішенні завдання писати: за теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів — ми записуємо це формулою, і все відразу стає зрозуміло.

Отже, в цій статті піде мова про те, що таке змінні, про їх види та властивості. Також будуть розглянуті різні математичні вирази: нерівності, формули, системи та алгоритми їх вирішення.

Поняття змінної

Для початку дізнаємося, що таке змінна? Це числова величина, яка може приймати безліч значень. Вона не може бути постійною, так як в різних завданнях і рівняннях для зручності рішення ми приймаємо за змінну різні числа, тобто, наприклад, z — це загальне позначення для кожної з величин, які її приймають. Зазвичай їх позначають літерами латинського чи грецького алфавіту (x, y, a, b і так далі).

Є різні види змінних. Ними задаються як деякі фізичні величини — шлях (S), часом (t), так і просто невідомі значення в рівняннях, функціях та інших виразах.

Наприклад, є формула: S = Vt. Тут змінними позначаються певні величини, що мають відношення до реального світу — шлях, швидкість і час.

А є рівняння виду: 3x — 16 = 12x. Тут вже за x приймається абстрактне число, яке має сенс в даній запису.

Загрузка...

Види величин

Під величиною мається на увазі те, що виражає властивості певного предмета, речовини чи явища. Наприклад, температура повітря, маса тварини, процентний вміст вітамінів в таблетці — це всі величини, числові значення яких можна обчислити.

Для кожної величини є свої одиниці вимірювання, які всі разом утворюють систему. Її називають системою числення (сч).

Що таке змінні та постійні величини? Розглянемо їх на конкретних прикладах.

Візьмемо прямолінійний рівномірний рух. Точка в просторі рухається з однаковою швидкістю на кожному проміжку часу. Тобто змінюються час і відстань, а швидкість залишається однаковою. В даному прикладі час і відстань — змінні величини, а швидкість — постійна.

Або, наприклад, «пі». Це ірраціональне число, яке триває без повторюваної послідовності цифр і не може бути записано повністю, тому в математиці воно виражається загальноприйнятим символом, який приймає лише значення даної нескінченного дробу. Тобто «пі» — це постійна величина.

Дивіться також:  Текст - це що таке? Значення слова текст

Історія

Історія позначення змінних починається в сімнадцятому столітті з вченого Рене Декарта.

Відомі величини він позначив першими літерами алфавіту: a, b і так далі, а для невідомих запропонував використовувати останні літери: x, y, z. Примітним є те, що такі змінні Декарт вважав неотрицательными числами, а при зіткненні з негативними параметрами ставив знак мінус перед змінною або, якщо було невідомо, яким по знаку є число, три крапки. Але з часом найменуваннями змінних стали позначати числа будь-якого знака, і почалося це з математика Йоганна Hudde.

З змінними обчислення в математиці вирішуються простіше, адже як, наприклад, зараз ми вирішуємо биквадратные рівняння? Вводимо змінну. Наприклад:

x4 + 15×2 + 7 = 0

За x2 приймаємо якесь k, і рівняння набуває зрозумілий вигляд:

x2 = k, k ≥ 0

k2 + 15k + 7 = 0

Ось яку користь в математику несе введення змінних.

Нерівності, приклади рішення

Нерівність являє собою запис, в якій два математичні вирази або два числа пов’язані знаками порівняння: , ≤, ≥. Вони бувають суворими і позначаються знаками або несуворими зі знаками ≤, ≥.

Вперше ці знаки ввів Томас Гарріот. Після смерті Томаса вийшла його книга з цими позначеннями, математикам вони сподобалися, і з часом їх стали повсюдно вживати в математичних обчисленнях.

Існує кілька правил, які потрібно дотримуватися при вирішенні нерівностей з однією змінною:

  1. При перенесенні числа з однієї частини нерівності в іншу міняємо його знак на протилежний.
  2. При множення або ділення частин нерівності на від’ємне число їх знаки змінюються на протилежні.
  3. Якщо помножити або розділити обидві частини нерівності на позитивне число, то вийде нерівність, рівний вихідному.

Розв’язати нерівність — означає знайти всі допустимі значення змінної.

Приклад з однією змінною:

10x — 50 > 150

Вирішуємо, як звичайне лінійне рівняння — переносимо доданки зі змінною вліво, без змінної — вправо і приводимо подібні члени:

10x > 200

Поділимо обидві частини нерівності на 10 і отримуємо:

x > 20

Для наочності в прикладі розв’язку нерівності з однією змінною зображуємо числову пряму, відзначаємо на ній проколоту точку 20, так як суворе нерівність, і дане число не входить в безліч його рішень.

Рішенням цієї нерівності буде проміжок (20; +∞).

Рішення нестрогого нерівності здійснюється так само, як і суворого:

6x — 12 ≥ 18

6x ≥ 30

x ≥ 5

Але є один виняток. Запис виду x ≥ 5 потрібно розуміти так: ікс більше або дорівнює п’яти, означає число п’ять входить у множину всіх розв’язків нерівності, тобто, записуючи відповідь, ми ставимо квадратну дужку перед числом п’ять.

Дивіться також:  Викриття - це що таке? Значення і різновиди

x ∈ [5; +∞)

Квадратні нерівності

Якщо взяти квадратне рівняння виду ax2 + bx +c = 0 і змінити в ньому знак одно на знак нерівності, то відповідно отримаємо квадратне нерівність.

Щоб вирішити квадратне нерівність, треба вміти вирішувати квадратні рівняння.

y = ax2 + bx + c — це квадратична функція. Її ми можемо вирішити з допомогою дискримінанта, або використовуючи теорему Вієта. Згадаймо, як вирішуються подібні рівняння:

1) y = x2 + 12x + 11 — функція є параболою. Її гілки спрямовані вгору, так як знак коефіцієнта «a» позитивний.

2) x2 + 12x + 11 = 0 — прирівнюємо до нуля і розв’язуємо за допомогою дискримінанта.

a = 1, b = 12, c = 11

D = b2 — 4ac= 144 — 44 = 100 > 0, 2 кореня

За формулою коренів квадратного рівняння отримуємо:

x1 = -1, x2 = -11

Чи можна було вирішити це рівняння за теоремою Вієта:

x1 + x2 = -b/a, x1 + x2 = -12

x1x2 = c/a, x1x2 = 11

Методом підбору отримуємо такі ж корені рівняння.

Парабола

Отже, перший спосіб вирішення квадратного нерівності — це парабола. Алгоритм її вирішення такий:

1. Визначаємо, куди спрямовані гілки параболи.

2. Прирівнюємо функцію до нуля і знаходимо корені рівняння.

3. Будуємо числову пряму, відзначаємо на ній коріння, проводимо параболу і знаходимо потрібний нам проміжок залежно від того, який у нерівності знак.

Вирішимо нерівність x2 + x — 12 > 0

Виписуємо у вигляді функції:

1) y = x2 + x — 12 — парабола, вітки вгору.

Прирівнюємо до нуля.

2) x2 + x -12 = 0

Далі вирішуємо як квадратне рівняння і знаходимо нулі функції:

x1 = 3, x2 = -4

3) Зображуємо числову пряму і на ній точки 3 і -4. Парабола пройде через них, гілками вгору і відповіддю до нерівності буде безліч позитивних значень, тобто (-∞; -4), (3; +∞).

Метод інтервалів

Другий спосіб — це метод інтервалів. Алгоритм рішення:

1. Знаходимо корені рівняння, при яких нерівність дорівнює нулю.

2. Відзначаємо їх на числовій прямій. Таким чином вона ділиться на кілька інтервалів.

3. Визначаємо знак будь-якого інтервалу.

4. Розставляємо знаки в інших інтервалів, міняючи їх через один.

Вирішимо нерівність (x — 4)(x — 5)(x + 7) ≤ 0

1) Нулі нерівності: 4, 5 і -7.

2) Зображуємо їх на числовій прямій.

3) Визначаємо знаки інтервалів.

Відповідь: (-∞; -7]; [4; 5].

Вирішимо ще одне нерівність: x2(3x — 6)(x + 2)(x — 1) > 0

1. Нулі нерівності: 0, 2, 2 і 1.

2. Відзначаємо їх на числовій прямій.

Дивіться також:  Оптичні лінзи (фізика): визначення, опис, формула і рішення

3. Визначаємо знаки інтервалів.

Пряма ділиться на проміжки — від -2 до 0, від 0 до 1, від 1 до 2.

Візьмемо значення на першому проміжку — (-1). Підставляємо в нерівність. При даному значенні нерівність стає позитивним, значить і знак на цьому проміжку буде +.

Далі, починаючи від першого проміжку, розставляємо знаки, міняючи їх через один.

Нерівність більше нуля, тобто треба знайти безліч позитивних значень на прямій.

Відповідь: (-2; 0), (1; 2).

Системи рівнянь

Системою рівнянь з двома змінними називають два рівняння, об’єднаних фігурною дужкою, для яких необхідно знайти спільне рішення.

Системи можуть бути рівносильними, якщо загальне рішення одного з них є рішенням іншого, або вони обидві не мають рішень.

Ми вивчимо рішення систем рівнянь з двома змінними. Є два способи їх вирішення — метод підстановки або алгебраїчний метод.

Алгебраїчний метод

Щоб вирішити систему, зображену на картинці, даним методом, спочатку необхідно помножити одну з її частин на таке число, щоб потім мати можливість взаємно знищити одну змінну з обох частин рівняння. Тут ми множимо на три, підводимо риску під системою і складаємо її частини. У підсумку ікси стають однакові за модулем, але протилежні за знаком, і ми їх скорочуємо. Далі отримуємо лінійне рівняння з однією змінною і вирішуємо його.

Ігрек ми знайшли, але на цьому ми не можемо зупинитися, адже ми ще не знайшли ікс. Підставляємо ігрек в ту частину, з якої зручно буде вивести ікс, наприклад:

-x + 5y = 8 , при y = 1

-x + 5 = 8

Вирішуємо отримане рівняння і знаходимо ікс.

-x = -5 + 8

-x = 3

x = -3

Головне в рішенні системи — правильно записати відповідь. Багато школярі роблять помилку і пишуть:

Відповідь: -3, 1.

Але це неправильний запис. Адже, як вже писалося вище, вирішуючи систему рівнянь, ми шукаємо спільне рішення для його частин. Правильною буде відповідь:

(-3; 1)

Метод підстановки

Це, мабуть, найпростіший метод, в якому важко зробити помилку. Візьмемо систему рівнянь номер 1 з цієї картинки.

У першій її частині ікс вже приведений до потрібного нам виду, тому нам залишається тільки підставити його в інше рівняння:

5y + 3y — 25 = 47

Переносимо число без змінної вправо, наводимо подібні доданки до загального значення і знаходимо ігрек:

8y = 72

y = 9

Потім, як і в алгебраїчному методі, підставляємо значення игрека в будь-яке рівняння і знаходимо ікс:

x = 3y — 25, при y = 9

x = 27 — 25

x = 2

Відповідь: (2; 9).

Загрузка...

Дивіться також: