При математичному описі обертального руху важливо знати момент інерції системи відносно осі. В загальному випадку процедура знаходження цієї величини передбачає реалізацію процесу інтегрування. Полегшити обчислення дозволяє так звана теорема Штейнера. Розглянемо її докладніше в статті.
Що таке момент інерції?
До того як привести формулювання теореми Штейнера, слід розібратися з самим поняттям моменту інерції. Припустимо, є деяке тіло певної маси і довільної форми. Цим тілом може бути, як матеріальна точка, так і будь-двомірний і тривимірний об’єкт (стрижень, циліндр, куля і т. д.). Якщо аналізований об’єкт здійснює круговий рух навколо деякої осі з постійним кутовим прискоренням α, тоді можна записати наступне рівняння:
M = I*α
Тут величина M представляє сумарний момент сил, який надає прискорення α всій системі. Коефіцієнт пропорційності між ними – I, називається моментом інерції. Ця фізична величина розраховується за такою загальною формулою:
I = ∫m (r2*dm)
Тут r – це дистанція між елементом з масою dm і віссю обертання. Цей вираз означає, що необхідно знайти суму добутків квадратів відстаней r2 на елементарну масу dm. Тобто момент інерції не є чистою характеристикою тіла, що його відрізняє від лінійної інерції. Він залежить від розподілу маси по всьому об’єкту, який обертається, а також від відстані до осі і від орієнтації тіла відносно неї. Наприклад, стрижень буде мати різний I, якщо його обертати щодо центру мас і щодо кінця.
