Вектори на площині і в просторі: формули та приклади

Вектор є важливим геометричним об’єктом, за допомогою властивостей якого зручно вирішувати багато проблем на площині і в просторі. У цій статті дамо йому визначення, розглянемо його основні характеристики, а також покажемо, як для задання площин вектор у просторі може бути використаний.

Що таке вектор: двовимірний випадок

У першу чергу необхідно чітко розуміти, про який об’єкт йде мова. В геометрії вектором називається спрямований відрізок. Як і будь-який відрізок, він характеризується двома основними елементами: початкової і кінцевої точок. Координати цих точок однозначно визначають всі характеристики вектора.

Розглянемо приклад вектора на площині. Для цього проведемо дві взаємно перпендикулярні осі x і y. Зазначимо довільну точку P(x, y). Якщо поєднати цю точку з початком координат (точка O), а потім вказати напрямок до P, тоді ми отримаємо вектор OP (далі в статті риска над символом показує, що розглядається вектор). Малюнок вектора на площині зображено нижче.

Тут також зображено інший вектор AB, і видно, що його характеристики абсолютно ідентичні OP, однак він знаходиться в іншій частині системи координат. Шляхом паралельного перенесення OP можна отримати нескінченну кількість векторів з однаковими властивостями.

Вектор в просторі

Всі реальні об’єкти, які нас оточують, перебувають у тривимірному просторі. Вивченням геометричних властивостей тривимірних фігур займається стереометрія, яка оперує поняттям тривимірних векторів. Від двовимірних вони відрізняються тільки тим, що для їх опису необхідна додаткова координата, що відраховується вздовж третьої перпендикулярної x і y осі z.

Малюнок нижче демонструє вектор в просторі. Координати кінця уздовж кожної осі позначені кольоровими смужками. Початок вектора знаходиться в точці перетину всіх трьох координатних осей, тобто має координати (0; 0; 0).

Оскільки вектор на площині є приватним випадком просторово спрямованого відрізка, то далі в статті будемо розглядати тільки тривимірний вектор.

Координати вектора за відомими координатами його початку і кінця

Припустимо, що є дві точки P(x1; y1; z1) і Q(x2; y2; z2). Як визначити координати вектора PQ. По-перше, слід домовитися, яка з точок буде початком, а яка кінцем вектора. В математиці прийнято записувати аналізований об’єкт вздовж його напрямку, тобто P — початок, Q — кінець. По-друге, координати вектора PQ обчислюються як різниці відповідних координат кінця та початку, тобто:

PQ = (x2 — x1; y2 — y1; z2 — z1).

Зазначимо, що змінивши напрям вектора, його координати поміняють знак, так:

QP = (x1 — x2; y1 — y2; z1 — z2).

Це означає, що PQ = -QP.

Дивіться також:  Рушійні сили розвитку - це... Визначення, поняття, види, класифікація, етапи розвитку та цілі

Важливо розуміти ще один момент. Вище було сказано, що в площині існує незліченна кількість векторів, рівних даним. Цей факт справедливий і для просторового випадку. По суті, коли ми обчислювали координати PQ у прикладі вище, ми здійснювали операцію паралельного перенесення цього вектора таким чином, щоб його початок збігся з початком координат. Вектор PQ може бути зображений у вигляді спрямованого відрізка з початку координат в точку M((x2 — x1; y2 — y1; z2 — z1).

Властивості вектора

Як і будь-який об’єкт геометрії, вектор має деякі властиві йому характеристики, які можна використовувати при вирішенні завдань. Коротко перелічимо їх.

Модуль вектора — це довжина спрямованого відрізка. Знаючи координати, обчислити її просто. Для вектора PQ в прикладі вище модуль дорівнює:

|PQ| = √[(x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2].

Модуль вектора на площині розраховується за аналогічною формулою, тільки без участі третьої координати.

Сума і різниця векторів здійснюється за правилом трикутника. Малюнок нижче показує, як виконуються операції додавання і віднімання цих об’єктів.

Щоб отримати вектор суми, необхідно до кінця першого вектора докласти початок другого. Шуканий вектор буде починатися на початку першого і закінчуватися на кінці другого вектора.

Різниця виконується з урахуванням того, що вычитаемый вектор змінюється на протилежний, а потім проводиться описана вище операція додавання.

Крім додавання і віднімання, важливо вміти помножити вектор на число. Якщо число дорівнює k, тоді виходить вектор, модуль якого в k разів відрізняється від вихідного, а напрям яких збігається (k>0), або протилежно до початкового (k<0).

Також визначена операція множення векторів між собою. Для неї виділимо окремий пункт у статті.

Скалярне і векторне множення

Припустимо, що є два вектора u(x1; y1; z1) і v(x2; y2; z2). Вектор вектор можна помножити двома різними способами:

  1. Скалярно. В цьому випадку виходить число.
  2. Векторно. Результатом є деякий новий вектор.
Дивіться також:  Хімічний елемент вісмут: температура плавлення і інші властивості

Скалярний добуток векторів u і v розраховується так:

(u*v) = |u|*|v|*cos(α).

Де α — кут між цими векторами.

Можна показати, що знаючи координати u і v, їх скалярний добуток можна обчислити за наступною формулою:

(u*v) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.

Скалярний твір зручно використовувати при розкладанні вектора на два перпендикулярно спрямованих відрізка. Також його застосовують для обчислення паралельності або ортогональності векторів, і для розрахунку кута між ними.

Векторний добуток іі v дає новий вектор, який перпендикулярний вихідним і має модуль:

[u*v] = |u|*|v|*sin(α).

Напрямок вниз або вгору нового вектора визначається за правилом правої руки (чотири пальці правої руки спрямовані від кінця першого вектора до кінця другого, а оттопыренный вгору великий палець вказує напрям нового вектора). На малюнку нижче показаний результат векторного твори для довільних аі b.

Векторний добуток застосовується для обчислення площ фігур, а також при визначенні координат вектора, перпендикулярного заданій площині.

Вектори та їх властивості зручно використовувати при визначенні рівняння площини.

Нормаль і загальне рівняння площини

Визначити площину можна кількома способами. Одним з них є висновок загального рівняння площини, яка безпосередньо випливає із знання вектора, перпендикулярного їй, і деякої відомої точки, яка належить площині.

Припустимо, що є вектор n (A; B; C) і точка P (x0; y0; z0). Якій умові будуть задовольняти всі точки Q(x; y; z) площині? Це умова полягає в перпендикулярності будь-якого вектора PQ нормалі n. Для двох перпендикулярних векторів скалярний твір стає рівним нулю (cos(90 o)=0), запишемо це:

(n*PQ) = 0 або

A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0) = 0.

Розкриваючи дужки, отримуємо:

A*x + B*y + C*z + (-A*x0-B*y0-C*z0) = 0 або

A*x + B*y + C*z +D = 0, де D = -A*x0-B*y0-C*z0.

Це рівняння називається загальним для площини. Ми бачимо, що коефіцієнти, які стоять перед змінними x, y і z, є координатами перпендикулярного вектора n. Він називається направляючим для площини.

Векторне параметричне рівняння площини

Другим способом визначення площині полягає використання двох векторів, що лежать в ній.

Припустимо, що є вектори u(x1; y1; z1) і v(x2; y2; z2). Як було сказано, кожен з них у просторі може бути представлений нескінченним числом однакових спрямованих відрізків, тому, для однозначного визначення площині необхідна ще одна точка. Нехай цією точкою буде P(x0; y0; z0). Всяка точка Q(x; y; z) буде лежати в шуканій площині, якщо вектор PQ можна представити у вигляді комбінації u і v. Тобто маємо:

PQ = α*u + β*v.

Де α і β деякі дійсні числа. З цієї рівності випливає вираз:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(x1; y1; z1) + β*(x2; y2; z2).

Воно називається параметричним векторним рівнянням площини по 2 векторів u і v. Підставляючи довільні параметри α і β, можна знайти всі точки (x; y; z), що належать цій площині.

Дивіться також:  Вуглеводні нафти: компоненти, склад, структура

З цього рівняння легко отримати загальне рівняння площини. Для цього достатньо знайти направляючий вектор n, який буде перпендикулярний обох векторів u і v, тобто слід застосувати їх векторний добуток.

Завдання на визначення рівняння площини загального виду

Покажемо, як користуватися розглянутими формулами для вирішення геометричних задач. Припустимо, що направляючий вектор площини дорівнює n(5; -3; 1). Слід знайти рівняння площини, знаючи, що точка P(2; 0; 0) їй належить.

Загальне рівняння записується у вигляді:

A*x + B*y + C*z +D = 0.

Оскільки вектор перпендикулярний площині відомий, то рівняння прийме вид:

5*x — 3*y + z +D = 0.

Залишається знайти вільний член D. Його розраховуємо знання з координат P:

D = -A*x0-B*y0-C*z0 = -5*2 + 3*0 — 1*0 = -10.

Таким чином, шукане рівняння площини має форму:

5*x — 3*y + z -10 = 0.

Малюнок нижче показує, що представляє собою отримана площину.

Вказані координати точок відповідають перетину площини з осями x, y і z.

Завдання на визначення площині через два вектора і точку

Тепер припустимо, що попередня площина задана інакше. Відомі два вектора u(-2; 0; 10) та v(-2; -10/3; 0), а також точка P(2;0;0). Як записати рівняння площини у векторному параметричному вигляді? Скориставшись розглянутої відповідною формулою, отримуємо:

(x; y; z) = (2 ; 0 ; 0 ) + α*(-2; 0; 10) + β*(-2; -10/3; 0).

Зауважимо, що визначення цього рівняння площини, вектори u і v можна брати абсолютно будь-які, але з однією умовою: вони не повинні бути паралельними. В іншому випадку площину однозначно визначити не можна, однак, можна знайти рівняння пучка або набору площин.