Визначення синуса. Основні тригонометричні функції

Тригонометрії є важливою частиною математики, знання якої широко використовуються в астрономії і при орієнтуванні на місцевості. У даній статті розглядається визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса як основних тригонометричних функцій.

Що таке тригонометрії?

Це наука, яка вивчає кількісні властивості трикутників, про що говорить її назва. Процес вивчення цих простих плоских фігур здійснюється з використанням так званих тригонометричних функцій.

Ще у стародавньому Вавилоні та Єгипті люди стикалися з завданнями, які вимагають знання співвідношення між сторонами і кутами трикутника (наприклад, при будівництві єгипетських пірамід). Проте до нашого часу не дійшли точні свідчення того, що вавілоняни і єгиптяни мали необхідної математичної теорією для рішення задач подібного роду.

Розвиток тригонометрії отримала на зорі нашої ери, завдяки досягненням давньогрецьких вчених. Перші таблиці тригонометричних функцій були складені лише у другій половині XV століття.

Прямокутний трикутник

Перед тим як давати визначення синуса і іншим тригонометричним функціям, необхідно пояснити, що являє собою прямокутний трикутник. У нього один з кутів дорівнює 90 o.

Знаючи, що сума кутів в цій фігурі дорівнює 180 o, можна з упевненістю сказати, що два інших кути в сумі складуть 90o. При цьому кожен з них буде менше, ніж прямий кут.

Сторони прямокутного трикутника мають назви. Відрізок, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою. Дві інші сторони — це катети.

Введення тригонометричних функцій

Тепер можна дати визначення синуса і косинусу кута, а також тангенсу і котангенсу. Для цього побудуємо коло одиничного радіуса. Нижче на малюнку представлений трикутник АВС, у якого відрізок AB = 1 — є гіпотенузою (радіус кола), AC і CB — катети.

Даючи визначення синуса кута, слід сказати, що він дорівнює відношенню відрізка BC до відрізку AB. Записується це наступним чином: sin(θ) = BC/AB. Оскільки AB = 1, sin(θ) = BC. Іншими словами, під синусом кута прямокутного трикутника розуміють відношення катета, що лежить навпроти цього кута, до гіпотенузі.

Дивіться також:  Гніт - це що таке? Походження, значення і пропозиції

Тепер визначення косинуса кута. Це відношення катета, прилеглого до розглянутого кутку, до гіпотенузі. Для малюнка вище маємо: cos(θ) = AC/AB = AC.

Тангенс кута — це тригонометрична функція, яка визначається відношенням катета, противолежащего до даного кутку, до прилежащему катету. Тобто tg(θ) = BC/AC.

Нарешті, котангенс кута — це відношення прилеглого катета до протилежного, тобто ctg(θ) = AC/BC.

Властивості синуса та інших тригонометричних функцій

З введених визначень синуса, косинуса кута та інших функцій слідують декілька важливих висновків про їх властивості:

  • По-перше, тригонометричні функції є безрозмірними величинами.
  • По-друге, їх значення не залежить від розмірів трикутника. Останній факт легко довести, якщо звернутися до того ж малюнку вгорі і розглянути трикутники ABC і AFE. Ці трикутники є подібними, так як мають спільний кут у вершині A, це означає, що виконується наступна рівність: BC/AB = FE/AF = sin(θ). Аналогічні рівності можна привести для інших тригонометричних функцій.
  • По-третє, будь-яка тригонометрична функція може бути виражена з використанням максимум двох інших. Це твердження вірно, оскільки всі три сторони трикутника фігурують у виразах для двох тригонометричних функцій. Наприклад, tg(θ) = sin(θ)/cos(θ).

Періодичність функцій

Це властивість спеціально було винесено в окремий пункт статті, оскільки його розгляд заслуговує окремої уваги.

Якщо обертати відрізок AB (див. рис. вище) проти годинникової стрілки, то точка B пробіжить всю коло одиничного радіуса. Як при цьому будуть змінюватися тригонометричні функції?

Розглянемо синус. Згідно з визначенням синуса кута, коли θ = 0, то BC = 0, тобто sin(0o) = 0. У міру зростання кута θ, збільшується довжина відрізка BC. При цьому довжина AB залишається незмінною. Це означає, що sin(θ) постійно збільшується. Коли кут θ = 90 o, то BC=AB sin(90 o) = 1.

Дивіться також:  Що таке клон? Значення слова

Подальше обертання AB проти годинникової стрілки призводить до зменшення значення синуса до нуля при куті 180 o (sin(180 o)=0).

Для кутів зі значеннями лежать між 180 o і 270 o синус знову збільшується за модулем, але зменшується в абсолютних значеннях, оскільки відрізок BC буде лежати в негативній області осі ординат. У підсумку sin(270 o) = -1.

Нарешті, в 4-му квадранті колу, коли кут змінюється від 270 o до 360o, абсолютне значення синуса збільшується, але модуль його зменшується до тих пір, поки при 360o він знову не стане рівним нулю (sin(360 o) = sin(0o) = 0).

З проведеного аналізу випливає, що синус є періодичною функцією, яка повторює свої значення кожні 360o. У тригонометрії зазвичай користуються не градусами, а радіанами. Нагадаємо, що 2*pi радіан дорівнює 360 o, де pi = 3,14 — число пі. Графік функції sin(x) наведено на головному фото статті.

Якщо провести аналогічні міркування, можна показати, що косинус — це періодична функція з таким же періодом, як і для синуса, тобто T = 2pi. Тангенс і котангенс теж є періодичними, тільки для них T =pi.

Таблиця значень тригонометричних функцій

Ця таблиця включає дані про значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса для набору кутів. Школярів змушують вчити ці значення напам’ять.

В даний час, завдяки розвитку інформатики, всі мови програмування і калькулятори забезпечені відповідними бібліотеками, які дозволяють швидко розрахувати значення будь-якої тригонометричної функції за частки секунди.

Нижче приводиться таблиця, у якій наведені значення для всіх названих функцій набору кутів. Які представлені як в градусах, так і в радіанах. Літери «ind» означають, що функція для цього кута має невизначене значення. Крім основних чотирьох тригонометричних функцій, у таблиці також наводяться секанс (sec) і косеканс (csc), які являють собою зворотні косинус і синус, відповідно.

Дивіться також:  Звукова хвиля: формула, властивості. Джерела звукових хвиль

Теорема Піфагора та зв’язок синуса і косинуса

Оскільки визначення синуса і косинуса кута засноване на використанні прямокутного трикутника, то ці функції можна зв’язати, якщо скористатися теоремою Піфагора.

Для зображеного вище прямокутного трикутника маємо: sin(α) = b/a cos(α) = c/a. Теорема Піфагора записується так: c2 + b2 = a2. Якщо ліву і праву частини цього виразу поділити на a2, а потім підставити формули для синуса і косинуса, то отримаємо: (sin(α))2 + (cos(α))2 = 1.