Вписаний чотирикутник у коло. Чотирикутник ABCD вписаний в окружність

З поділом математики на алгебру і геометрію навчальний матеріал стає складнішим. З’являються нові фігури та їх приватні випадки. Для того щоб добре розібратися в матеріалі, необхідно вивчити поняття, властивості об’єктів і супутні теореми.

Загальні поняття

Під чотирикутником мається на увазі геометрична фігура. Складається вона з 4-х точок. Причому 3 з них не розташовуються на одній прямій. Є відрізки, послідовно з’єднують зазначені точки.

Всі чотирикутники, що вивчаються в шкільному курсі геометрії, показані в наступній схемі. Висновок: будь-який об’єкт з представленого малюнка володіє властивостями попередньої фігури.

Чотирикутник може бути наступних видів:

  • Паралелограм. Паралельність його протилежних сторін підтверджується відповідними теоремами.
  • Трапеція. Чотирикутник, у якого підстави паралельні. Інші дві сторони – немає.
  • Прямокутник. Фігура, у якої всі 4 кута = 90º.
  • Ромб. Фігура, у якої всі сторони рівні.
  • Квадрат. Поєднує в собі властивості останніх двох фігур. У нього всі сторони рівні і всі кути прямі.

Основне визначення даної теми – вписаний чотирикутник у коло. Воно полягає в наступному. Це фігура, навколо якої описана окружність. Вона повинна проходити через всі вершини. Внутрішні кути чотирикутника, вписаного в коло, в сумі дають 360º.

Не кожен чотирикутник може бути вписаний. Пов’язано це з тим, що серединні перпендикуляри 4-х сторін не можуть перетнутися в одній точці. Це зробить неможливим знаходження центру окружності, описаної близько 4-кутника.

Загрузка...

Приватні випадки

З кожного правила є винятки. Так, у даній темі також є окремі випадки:

  • Паралелограм, як такої, не може бути вписаний в окружність. Тільки його окремий випадок. Це прямокутник.
  • Якщо всі вершини ромба знаходяться на описує лінії, то він є квадратом.
  • Всі вершини трапеції знаходяться на межі кола. У такому разі говорять про равнобедренной фігурі.
Дивіться також:  Протоку Дмитра Лаптєва: історія відкриття, опис, природні умови

Властивості вписаного у коло чотирикутника

Перед вирішенням простих і складних задач з заданої теми необхідно впевнитися у своїх знаннях. Без вивчення навчального матеріалу неможливо вирішити ні один приклад.

Теорема 1

Сума протилежних кутів чотирикутника, вписаного в коло, дорівнює 180º.

Доказ

Дано: чотирикутника АВСД вписаний в окружність. Її центр – точка О. Потрібно довести, що

Потрібно розглянути представлені фігури.

  1. BAD і BCD утворюють цілу окружність, тобто їх величина становить 360º.
  2. Отже,

Аналогічним способом відбувається доказ для

  1. Відомо, що сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360 º.
  2. Оскільки

Теорема 2

(Її часто називають зворотним) Якщо в чотирикутнику

Доказ

Дана сума протилежних кутів чотирикутника ABCD дорівнює 180º.

З курсу геометрії відомо, що через 3 точки чотирикутника можна провести окружність. Наприклад, можна задіяти точки A, B, C. Де буде знаходитися т. D? Є 3 припущення:

  1. Вона виявляється всередині кола. При цьому D не стосується лінії.
  2. Поза кола. Вона заступає далеко за межі окресленої лінії.
  3. Виявляється на окружності.

Слід припустити, що D розташовується всередині кола. Місце зазначеної вершини займає D. Виходить чотирикутник ABCD.

В результаті слід:

Якщо продовжити AD до перетину з наявною колом з центром у точці Е і з’єднати E і C, вийде вписаний чотирикутник ABCE. З першої теореми випливає рівність:

Згідно законам геометрії, вираз не має сили, оскільки

Подібним чином можна довести неправильність третього припущення, коли D виходить за кордон описаної фігури.

З двох гіпотез випливає єдино вірна. Вершина D розташовується на лінії окружності. Іншими словами, D збігається з E. Звідси випливає, що всі точки чотирикутника розташовуються на цій лінії.

З цих двох теореми випливають наслідки:

  • Будь прямокутник може бути вписаний в окружність. Існує і інше слідство. Навколо будь-якого прямокутника може бути описана окружність.
  • Трапеція з рівними стегнами може бути вписана в коло. Іншими словами це звучить так: навколо трапеції з рівними ребрами може бути описана окружність.

Кілька прикладів

Завдання 1. У коло вписано чотирикутник ABCD.

Рішення. Спочатку може здатися, що знайти відповідь буде важко.

1. Потрібно згадати властивості з цієї теми. А саме: сума протилежних кутів = 180º.

В геометрії краще дотримуватися принципу: знайти все, що можна. Потім пригодиться.

2. Наступний крок: використовувати теорему про суму кутів трикутника.

Відповідь:

Завдання 2. Дан BCDE – вписаний чотирикутник у коло.

Рішення.

  1. Необхідно знайти

Відповідь: < E = 96º.

Завдання 3. Дан вписаний чотирикутник у коло. Дані вказані на малюнку. Необхідно знайти невідомі величини x, y, z.

Рішення:

z = 180º – 93º = 87º (за Теоремою 1)

x = ½ * (58º + 106º) = 82º

y = 180º – 82º = 98º (за Теоремою 1)

Відповідь: z = 87º, x = 82º, y = 98º.

Завдання 4. Є вписаний чотирикутник у коло. Величини вказані на малюнку. Знайти x , y.

Рішення:

x = 180º – 80 = 100º

y = 180º – 71º = 109º

Відповідь: x = 100º, y = 109º.

Завдання на самостійне рішення

Приклад 1. Дана окружність. Її центр – точка О. АС і BD – діаметри.

Приклад 2. Дані чотирикутник ABCD і коло, описане навколо нього.

Приклад 3. Дана окружність і вписаний чотирикутник ABCD. Два його кути рівні 82º і 58º. Необхідно знайти більший з решти кутів і записати відповідь у градусах.

Приклад 4. Даний чотирикутник ABCD. Кути А, В, С дано у співвідношенні 1:2:3. Необхідно знайти кут D, якщо зазначений чотирикутник може бути вписаний в окружність. Відповідь має бути дана в градусах.

Приклад 5. Даний чотирикутник ABCD. Його сторони утворюють дуги описаного кола. Градусні величини AB, BC, CD і AD, відповідно, дорівнюють: 78, 107, 39, 136. Слід знайти <З даного чотирикутника і записати відповідь у градусах.

Дивіться також:  Клімат Шотландії: середньорічна температура повітря, кількість опадів