Знання відстані від точки до площини або до прямої дозволяє обчислити об’єм та площу поверхні фігур у просторі. Розрахунок цієї відстані в геометрії здійснюється з використанням відповідних рівнянь для зазначених геометричних об’єктів. У статті покажемо, з допомогою яких формул можна його визначити.
Рівняння прямої та площини
Перед тим як наводити формули для визначення відстані від точки до площини і до прямої, покажемо, якими рівняннями описуються ці об’єкти.
Для визначення точки використовується набір координат в даній системі координатних осей. Тут будемо розглядати тільки декартову прямокутну систему, в якій осі мають однакові одиничні вектори і є взаємно перпендикулярними. На площині довільна точка описується двома координатами, в просторі – трьома.
Для визначення прямої використовують різні типи рівнянь. У відповідності з темою статті, наведемо лише два з них, які застосовуються в двовимірному просторі для постановки прямих.
Векторне рівняння. Воно має наступну форму запису:
(x; y) = (x0; y0 ) + λ*(a; b).
Перший член тут представляє координати відомої точки, що лежить на прямій. Другий член – це координати направляючого вектора, помножені на довільне число λ.
Рівняння загального виду. Його форма запису така:
A*x + B*y + C = 0;
де A, B, C – деякі коефіцієнти.
Загальне рівняння частіше використовується для визначення прямих на площині, однак для знаходження відстані від точки до прямої на площині зручніше працювати з векторним виразом.
Площини в тривимірному просторі теж можна записати кількома математичними способами. Тим не менш найчастіше зустрічається в задачах рівняння загального виду, яке записується так:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Перевагою цієї форми запису по відношенню до інших є те, що вона в явному вигляді містить координати вектора, перпендикулярного площині. Цей вектор називається направляючим для неї, він збігається з напрямком нормалі, а його координати дорівнюють (A; B; C).
Зауважимо, що наведене вираз збігається з формою запису рівняння загального вигляду для прямої в двовимірному просторі, тому при вирішенні завдань варто бути уважним і не плутати ці геометричні об’єкти.
