Сума нескінченної спадної геометричної прогресії і парадокс Зенона

Деякі завдання фізики і математики можуть бути вирішені з використанням властивостей числових рядів. Дві найпростіших числових послідовності, які вивчаються в школах, це алгебраїчна і геометрична. В даній статті розглянемо детальніше питання, як знайти суму нескінченної геометричної прогресії спадною.

Геометрична прогресія

Під цими словами розуміють такий ряд дійсних чисел, елементи ai якого задовольняють виразом:

ai = ai-1*r

Тут i – номер елемента в рядку, r – постійне число, яке називається знаменником.

Це визначення показує, що, знаючи будь-який член прогресії і його знаменник, можна відновити весь ряд чисел. Наприклад, якщо відомий 10-й елемент, то поділивши його на r, отримаємо 9-й елемент, потім, розділивши ще раз, отримаємо 8-й і так далі. Ці прості міркування дозволяють записати вираз, яке справедливо для розглянутого ряду чисел:

ai = a1*ri-1

Прикладом прогресії зі знаменником 2 може бути такий ряд:

1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Якщо ж знаменник дорівнює -2, тоді виходить зовсім інший ряд:

1, -2, 4, -8, 16, -32, …

Геометрична прогресія є набагато більш швидкою, ніж алгебраїчна, тобто її члени швидко ростуть і швидко зменшуються.

Дивіться також:  Де знаходяться джунглі? Амазонські та інші ліси