Кожен школяр знає, що завжди квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, кожен з яких зведений у квадрат. Ця твердження носить назву теореми Піфагора. Вона є однією з найбільш відомих теорем тригонометрії і математики в цілому. Розглянемо її детальніше.
Поняття про прямокутному трикутнику
Перед тим, як переходити до розгляду теореми Піфагора, в якій квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, які зведені в квадрат, слід розглянути поняття і властивості прямокутного трикутника, для якого справедлива теорема.
Трикутник – плоска фігура, що має три кути і три сторони. Прямокутний ж трикутник, як випливає з його назви, має один прямий кут, тобто цей кут дорівнює 90 o.
З загальних властивостей всіх трикутників відомо, що сума всіх трьох кутів цієї фігури дорівнює 180 o, а це означає, що для прямокутного трикутника сума двох кутів, які не є прямими, становить 180 o – 90 o = 90o. Останній факт означає, що будь-який кут в прямокутному трикутнику, який не є прямим, буде завжди менше 90o.
Сторону, яка лежить проти прямого кута, прийнято називати гіпотенузою. Дві ж інші сторони є катетами трикутника, вони можуть бути рівні між собою, а можуть і відрізнятися. З тригонометрії відомо, що чим більше кут, проти якого лежить сторона в трикутнику, тим більше довжина цієї сторони. Це означає, що в прямокутному трикутнику гіпотенуза (лежить проти кута 90 o) буде завжди більше будь-якого з катетів (лежать проти кутів < 90o).
Математична запис теореми Піфагора
Ця теорема свідчить, що квадрату гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких попередньо зведений у квадрат. Щоб записати математично цю формулювання, розглянемо прямокутний трикутник, в якому сторони a, b і c є двома катетами і гіпотенузою, відповідно. В цьому випадку теорема, яка формулюється, як квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, наступною формулою може бути представлена: c2 = a2 + b2. Звідси можуть бути отримані інші важливі для практики формули: a = √(c2 – b2), b = √(c2 – a2) і c = √(a2 + b2).
Зазначимо, що у випадку прямокутного рівностороннього трикутника, тобто a = b, формулювання: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, кожен з яких зведений у квадрат, математично запишеться так: c2 = a2 + b2 = 2a2, звідки випливає рівність: c = a√2.
Історична довідка
Теорема Піфагора, яка говорить, що квадрату гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких зведений у квадрат, була відома задовго до того, коли на неї звернув увагу знаменитий грецький філософ. Багато папіруси Стародавнього Єгипту, а також глиняні таблички Вавилонян підтверджують, що ці народи використовували зазначену властивість сторін прямокутного трикутника. Наприклад, одна з перших єгипетських пірамід, піраміда Хефрена, будівництво якої відноситься до XXVI століття до нашої ери (за 2000 років до життя Піфагора), була побудована, виходячи зі знання співвідношення сторін у прямокутному трикутнику 3x4x5.
Чому ж тоді в даний час теорема носить ім’я грека? Відповідь проста: є Піфагор першим, хто математично довів цю теорему. У збережених вавілонських та єгипетських писемних джерелах йдеться лише про її використання, але не наводиться жодного математичного докази.
Вважається, що Піфагор довів цю теорему шляхом використання властивостей подібних трикутників, які він отримав, провівши висоту в прямокутному трикутнику з кута 90o до гіпотенузі.
Приклад використання теореми Піфагора
Розглянемо просту задачу: необхідно визначити довжину похилої сходи L, якщо відомо, що вона має висоту H = 3 метри, і відстань від стіни, в яку впирається сходи, до її підніжжя одно P = 2,5 метра.
В даному випадку H і P – це катети, а L – гіпотенуза. Оскільки довжина гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отримуємо: L2 = H2 + P2, звідки L = √(H2 + P2) = √(32 + 2,52) = 3,905 метра або 3 м і 90,5 див.
