Рівняння площини у відрізках. Приклади розвязання задач

Для визначення паралельності та перпендикулярності площин, а також для розрахунку відстаней між цими геометричними об’єктами, зручно користуватися тим чи іншим видом числових функцій. Для яких завдань зручно використовувати рівняння площини у відрізках? У цій статті розглянемо, що це і як використовувати в практичних завданнях.

Що являє собою рівняння у відрізках?

Площину можна задати в тривимірному просторі кількома способами. У цій статті деякі з них будуть наведені під час розв’язування задач різного типу. Тут же дамо детальну характеристику рівняння площини у відрізках. Воно в загальному випадку має наступний вигляд:

x/p + y/q + z/r = 1.

Де символами p, q, r позначені деякі конкретні числа. Це рівняння можна легко перевести у вираз загального виду та інші форми числових функцій для площини.

Зручність запису рівняння у відрізках полягає в тому, що воно містить явні координати перетину площини з перпендикулярними осями координат. На осі x відносно початку координат площину відсікає відрізок завдовжки p, y дорівнює q, z – довжиною r.

Якщо який-небудь з трьох змінних не міститься в рівнянні, то це означає, що через відповідну вісь площину не проходить (математики кажуть, що перетинає в нескінченності).

Далі наведемо кілька завдань, в яких покажемо, як працювати з цим рівнянням.

Зв’язок загального і у відрізках рівнянь

Відомо, що площина задана наступним рівністю:

2*x – 3*y + z – 6 = 0.

Необхідно це загальне рівняння площини у відрізках записати.

Коли виникає подібна задача, потрібно дотримуватися такої методики: переносимо вільний член в праву частину рівності. Потім ділимо на цей член все рівняння, прагнучи його виразити у вигляді, наведеному в попередньому пункті. Маємо:

2*x – 3*y + z = 6 =>

2*x/6 – 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Ми отримали у відрізках рівняння площини, заданий спочатку в загальному вигляді. Помітно, що площина відтинає відрізки з довжинами 3, 2 і 6 для осей x, y і z відповідно. Вісь y площина перетинає в негативній області координат.

Дивіться також:  Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі: формула, її застосування

При складанні рівняння у відрізках важливо, щоб перед усіма змінними стояв знак “+”. Тільки в цьому випадку число, на яке ця змінна ділиться, покаже отсекаемую на осі координату.

Нормальний вектор і точка на площині

Відомо, що деяка площина має напрямний вектор (3; 0; -1). Також відомо, що вона проходить через точку (1; 1; 1). Слід для цієї площини написати рівняння у відрізках.

Щоб вирішити цю задачу, слід для початку скористатися загальною формою для цього двовимірного геометричного об’єкта. Загальна форма записується у вигляді:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Три перших коефіцієнта є тут координатами вектора направляючого, який задано в умові задачі, тобто:

A = 3;

B = 0;

C = -1.

Залишається знайти вільний член D. Його можна визначити за такою формулою:

D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z1).

Де значення координат з індексом 1 відповідають координатам точки, що належить площині. Підставляємо їх значення з умови задачі, отримуємо:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Тепер можна записати повністю рівняння:

3*x – z – 2 = 0.

Вище вже була продемонстрована методика перетворення цього виразу в рівняння площини у відрізках. Застосуємо її:

3*x – z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Відповідь на завдання отримано. Зауважимо, що дана площина перетинає тільки x і z осі. Для y вона паралельна.

Дві прямі, що задають площину

З курсу просторової геометрії кожен школяр знає, що дві довільні прямі однозначно задають площину в тривимірному просторі. Розв’яжемо таку задачу.

Відомі два рівняння прямих:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Потрібно записати у відрізках рівняння площини, через ці прямі проходить.

Так як обидві прямі повинні лежати в площині, то це означає, що їх вектора (напрямні) повинні бути перпендикулярні вектору (спрямовує) для площини. У той же час відомо, що векторний добуток довільних двох спрямованих відрізків дає результат у вигляді координат третього, перпендикулярного двом вихідним. Враховуючи цю властивість, отримуємо координати нормального до шуканої площини вектора:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Оскільки його можна помножити на довільне число, при цьому утворюється новий спрямований відрізок, паралельний, то можна знак отриманих координат замінити на протилежний (помножити на -1), отримаємо:

(1; 2; 1).

Нам відомий напрямний вектор. Залишається взяти довільну точку однієї з прямих і скласти загальне рівняння площини:

A = 1;

B = 2;

C = 1;

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Переводимо це рівність у вираз у відрізках, отримуємо:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Таким чином, площина перетинає всі три осі в позитивній області координатної системи.

Дивіться також:  Наголос в балує і балувати не падає на склад бал

Три точки і площину

Так само як дві прямі, три крапки задають площину однозначно в тривимірному просторі. Запишемо відповідне рівняння у відрізках, якщо відомі наступні координати точок, що лежать у площині:

Q(1;-2;0);

P(2;-3;0);

M(4; 1; 0).

Поступимо таким чином: обчислимо координати двох довільних векторів, що з’єднують ці точки, потім, знайдемо нормальний до площині вектор n, розрахувавши твір знайдених спрямованих відрізків. Отримуємо:

QP = P – Q = (1; -1; 0);

QM = M – Q = (2; 4; 0);

n = [QP*QM] = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Візьмемо для прикладу точку P, складемо рівняння площини:

A = 0;

B = 0;

C = 6;

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 або z = 0.

Ми отримали просте вираз, що відповідає площині xy в даній прямокутній системі координат. Записати його у відрізках не можна, оскільки осі x і y належать площині, а довжина отсекаемого на осі z відрізка дорівнює нулю (точка (0; 0; 0) належить площині).