Одна з аксіом геометрії стверджує, що через всякі дві точки можна провести єдину пряму. Ця аксіома свідчить, що існує єдине числовий вираз, однозначно описує зазначений одновимірний геометричний об’єкт. Розглянемо в статті питання щодо того, як скласти рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Що таке точка і пряма?
Перш ніж розглядати питання побудови в просторі і на площині рівняння прямої, що проходить через пару різних точок, слід дати визначення зазначеним геометричних об’єктів.
Точка однозначно визначається набором координат в заданій системі координатних осей. Крім них більше не існує характеристик для точки. Вона є нульмерным об’єктом.
Коли говорять про прямий, то кожна людина представляє лінію, зображену на білому аркуші паперу. У той же час можна дати точне геометричне визначення цього об’єкту. Пряма являє собою таку сукупність точок, для якої з’єднання кожної з них з усіма іншими дасть набір паралельних векторів.
Це визначення використовується при завданні векторного рівняння прямої, про яке буде сказано нижче.
Оскільки на кожній прямій можна відзначити відрізок довільної довжини, то кажуть, що вона є одновимірним геометричним об’єктом.
Числова функція векторна
Рівняння через дві точки проходить прямий може бути складено в різних видах. У тривимірному і двовимірному просторах основним і інтуїтивно зрозумілим числовим вираженням є векторне.
Припустимо, що є певний спрямований відрізок u(a; b; c). У тривимірному просторі вектор u може починатися в довільній точці, тому його координати задають нескінченний набір паралельних векторів. Однак якщо вибрати конкретну точку P(x0; y0; z0) і покласти її початком вектора u, тоді, множачи на довільне дійсне число λ цей вектор, можна в просторі отримати всі точки однієї прямої. Тобто векторне рівняння запишеться у вигляді:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a; b; c)
Очевидно, що для випадку на площині числова функція приймає форму:
(x; y) = (x0; y0 ) + λ*(a; b)
Перевага цього виду рівняння порівняно з іншими (у відрізках, канонічне, загального виду) полягає в тому, що в ньому в явній формі містяться координати направляючого вектора. Останній часто використовується для визначення факту паралельності або перпендикулярності прямих.
Загальне у відрізках і канонічна функція для прямої в двовимірному просторі
При вирішенні завдань іноді потрібно написати рівняння проходить через дві точки прямої в певному, конкретному вигляді. Тому слід навести інші способи задання цього геометричного об’єкта в двовимірному просторі (для простоти розглянемо саме випадок на площині).
Почнемо з рівняння загального виду. Воно має форму:
A*x + B*y + C = 0
Як правило, на площині рівняння прямої записується саме в цій формі, тільки y явно визначається через x.
Тепер перетворимо вираз вище наступним чином:
A*x + B*y = -C =>
x/(-C/A) + y/(C/B) = 1
Цей вираз називається рівнянням у відрізках, оскільки знаменник для кожної змінної показує, якої довжини відрізок пряма відтинає на відповідній координатній осі відносно початкової точки (0; 0).
Залишається навести приклад канонічного рівняння. Для цього запишемо в явному вигляді векторне рівність:
x = x0 + λ*a;
y = y0 + λ*b
Виразимо звідси параметр λ і приравняем отримані рівності:
λ = (x – x0)/a;
λ = (y – y0)/b;
(x – x0)/a = (y – y0)/b
Останнє рівняння називається рівнянням в канонічній, або симетричній формі.
Кожне з них може бути переведене в векторне і навпаки.
Рівняння прямої, що через дві точки проходить: методика складання
Повертаємося до питання статті. Припустимо, що в просторі існують дві точки:
M(x1; y1; z1) і N(x2; y2; z2)
Через них проходить єдина пряма, рівняння якої дуже просто скласти в векторній формі. Для цього обчислимо координати спрямованого відрізка MN, маємо:
MN = N – M = (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Не важко здогадатися, що цей вектор буде напрямних для прямою, рівняння якої необхідно отримати. Знаючи, що вона також проходить через M і N, можна координати будь-який з них використовувати для векторного вираження. Тоді шукане рівняння приймає вид:
(x; y; z) = M + λ*MN =>
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + λ*(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Для випадку в двовимірному просторі отримуємо аналогічне рівність без участі змінної z.
Як тільки записано векторне рівність для прямої, його можна перевести в будь-який інший вид, який потребує питання завдання.
Завдання: скласти рівняння загального вигляду
Відомо, що проходить пряма через точки з координатами (-1; 4) і (3; 2). Необхідно скласти рівняння прямої, що проходить через них, у загальному вигляді, висловивши y через x.
Для вирішення задачі запишемо спочатку рівняння у векторному вигляді. Координати вектора (направляє) дорівнюють:
(3; 2) – (-1; 4) = (4; -2)
Тоді векторна форма запису рівняння прямої виходить наступна:
(x; y) = (-1; 4) + λ*(4; -2)
Залишається її записати в загальному вигляді у формі y(x). Переписуємо у явному вигляді це рівність, висловлюємо параметр λ і виключаємо його з рівняння:
x = -1 + 4*λ => λ = (x+1)/4;
y = 4 – 2*λ => λ = (4-y)/2;
(x+1)/4 = (4-y)/2
З отриманого канонічного рівняння висловлюємо y і приходимо до відповіді на питання завдання:
y = -0,5*x + 3,5
Справедливість цієї рівності можна перевірити, якщо підставити координати заданих в умові задачі точок.
Завдання: пряма, що проходить через центр відрізка
Тепер вирішимо одну цікаву задачу. Припустимо, що задані дві точки M(2; 1) і N(5; 0). Відомо, що проходить пряма через середину відрізка, який з’єднує точки, і перпендикулярна йому. Напишіть рівняння прямої, що проходить через середину відрізка, у векторній формі.
Шукане числовий вираз можна скласти, обчисливши координату цього центру і визначивши направляючий вектор, який з відрізком складає кут 90o.
Координати середини відрізка дорівнює:
S = (M + N)/2 = (3,5; 0,5)
Тепер розрахуємо координати вектора MN:
MN = N – M = (3; -1)
Так як направляючий вектор для шуканої прямої перпендикулярний MN, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. Це дозволяє розрахувати невідомі координати (a; b) напрямного вектора:
a*3 – b = 0 =>
b = 3*a
Тепер записуємо векторне рівняння:
(x; y) = (3,5; 0,5) + λ*(a; 3*a) =>
(x; y) = (3,5; 0,5) + β*(1; 3)
Тут ми замінили твір a*λ новим параметром β.
Таким чином, ми склали рівняння прямої, що проходить через центр відрізка.
