Площина та пряма і значення кута їх перетину
Необхідно знайти кут між прямою і площиною, заданих виразами:
(x; y; z) = (1; 1; 0) + λ * (2; -1; 3);
x + y – 2z + 1 = 0
Наведеною формулою для α зручно користуватися, якщо заздалегідь обчислити модулі векторів і їх скалярний добуток. Зробимо це:
n(1; 1; -2);
v(2; -1; 3);
(n * v) = ((1; 1; -2) * (2; -1; 3)) = -5;
|n| = √(1 + 1 + 4) = √6;
|v| = √(4 + 1 + 9) = √14
Тепер можна підставити знайдені значення у формулу для α:
α = arcsin(|-5| / (√6 * √14)) = 33,06 o
Таким чином, ми показали, що площина і пряма дійсно перетинаються, і кут між ними дорівнює приблизно 33o.
Перетин прямої координатних площин
Тепер розв’яжемо таку задачу. Дана пряма, що задається наступним чином:
(x; y; z) = (1 ; 0 ; 0 ) + λ * (2; 0; -1)
Необхідно знайти кути її перетину з трьома координатними площинами.
Для початку слід математично записати вирази для зазначених площин. Вони мають вигляд:
x = 0 (площину yz);
y = 0 (площина xz);
z = 0 (площина xy)
Для кожної з них запишемо координати нормального вектора:
n(1; 0; 0) x = 0;
n(0; 1; 0) для y = 0;
n(0; 0; 1) z = 0
Видно, що довжини всіх нормальних векторів дорівнюють одиниці. Знаходимо скалярні твори для кожного з них з напрямним вектором прямої:
для x = 0: ((2; 0; -1) * (1; 0; 0)) = 2;
для y = 0: ((2; 0; -1) * (0; 1; 0)) = 0;
для z = 0: ((2; 0; -1) * (0; 0; 1)) = -1
Модуль для направляючого вектора прямої дорівнює:
|(2; 0; -1)| = √5
Підставляємо розраховані значення у формулу, отримуємо кути перетину:
з x = 0: α = arcsin(|2| / √5) ≈ 63,4 o;
з y = 0: α = arcsin(|0| / √5) =0o;
з z = 0: α = arcsin(|-1| / √5) ≈ 26,6 o
Таким чином, задана пряма перетинає тільки площині yz і xy, а до площини xz вона є паралельною.
