Пряма і площина в просторі
Розрахунок кута між прямою і площиною можна проводити, якщо розуміти, які варіанти в принципі існують у взаємному розташуванні цих об’єктів. Цих варіантом всього три:
- пряма паралельна площині, але в ній не лежить;
- всі точки прямої також є точками площини;
- пряма з площиною перетинаються.
Перші два варіанти відповідають куті 0o між розглянутими геометричними об’єктами. У разі ж перетину кут відмінний від нуля, але він завжди менше або дорівнює прямому куту. Якщо при перетині площини і прямої в одній точці кут дорівнює 90 o, то їх вважають взаємно перпендикулярними.
На малюнку вище пряма та площина паралельні один одному, а на схемі нижче вони перетинаються.
Формула кута між прямою і площиною
Отримаємо формулу для розглянутої величини в загальному вигляді. Для цього запишемо ще раз представлені рівняння прямої та площини:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * y + C * z + D = 0
Припустимо для простоти висновку, що пряма перетинає площину. Згідно з визначенням, кутом між ними називається кут між цією прямою і її проекцією на площину. Для отримання проекції досить опустити перпендикуляр з довільної точки прямої на площину, а потім через отриману точку на площині і точку перетину провести пряму. Відповідний малюнок зображений нижче, де символом α відзначений шуканий кут.
На малюнку також зображено направляючий вектор прямої v і нормаль n, відзначений кут β між ними. З малюнка видно, що ці кути пов’язані один з одним виразом:
β + α = 90 o
Як знайти β, зможе відповісти будь-який школяр, який знайомий з властивостями скалярного добутку. Для цього достатньо обчислити його і поділити на твір модулів відповідних векторів, тобто:
cos(β) = |(n * v)| / (|n| * |v|)
Звертаємо увагу, що в чисельнику стоїть модуль твори. Це дозволяє знаходити тільки прямі кути перетину.
З тригонометричних формул відомо наступне рівність:
cos(β) = cos(90 o – α) = sin(α)
Тоді шуканий кут може бути обчислений за формулою:
α = arcsin(|(n * v)| / (|n| * |v|)
Якщо підставити координати векторів для записаної вище прямої і площини, то отримаємо кінцеву формулу:
α = arcsin(|(A * a + B * b + C * c)| / (√(A2 + B2 + C2) * √(a2 + b2 + c2))
Покажемо, як її використовувати при вирішенні завдань.
