Планіметрія – це просто. Поняття та формули

Ознайомившись з матеріалом, читач зрозуміє, що планіметрія – це зовсім не складно. У статті наведено найважливіша теоретична інформація та необхідні для вирішення конкретних завдань формули. По полицях розкладені важливі затвердження та властивості фігур.

Визначення і важливі факти

Планіметрія – це розділ геометрії, який розглядає об’єкти на плоскій двовимірної поверхні. Можна виділити деякі відповідні приклади: квадрат, коло, ромб.

Серед усього іншого варто виділити точку і пряму. Вони є двома основними поняттями планіметрії.

Вже на них будуються всі решта, наприклад:

  • Відрізок – це частина прямої лінії, обмежена двома точками.
  • Промінь – об’єкт, аналогічний відрізку, проте, має кордон лише з одного боку.
  • Кут, який складається з двох променів, що виходять з однієї точки.

Аксіоми і теореми

Докладніше розберемося з аксіомами. У планіметрії це найважливіші правила, за якими працює вся наука. Та й не тільки в ній. За визначенням, мова йде про твердженнях, які не потребують доказів.

Аксіоми, які буду розглянуті нижче, входять в так звану Евклидовую геометрію.

  • Є дві точки. Через них завжди можна провести єдину пряму.
  • Якщо існує пряма, тобто точки, які на ній лежать, і точки, що не лежать на ній.

Це 2 твердження називають аксіомами приналежності, а наступні – порядку:

  • Якщо на прямій розташовані три точки, то одна з них обов’язково знаходиться між двома іншими.
  • Площина ділиться будь-якої прямої на дві частини. Коли кінці відрізка лежать на одній половині, то значить і весь об’єкт належить їй. В іншому випадку вихідна пряма і відрізок мають точку перетину.

Аксіоми заходів:

  • Кожен відрізок має довжину, відмінну від нуля. Якщо точка розбиває його на кілька частин, то їх сума буде дорівнює повній довжині об’єкта.
  • У кожного кута є певна градусна міра, яка не дорівнює нулю. Якщо розбити його променем, то вихідний кут дорівнюватиме сумі освічених.
Дивіться також:  Тік, що це таке?

Паралельність:

  • На площині пряма розташована. Через будь-яку точку, що не належить їй, можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Теореми в планіметрії – це вже не зовсім фундаментальні твердження. Зазвичай їх приймають як факт, але кожна з них має доказ, побудована на основних поняттях, згаданих вище. Крім того, їх дуже багато. Розібрати все буде досить важко, але в представленому матеріалі будуть присутні деякі з них.

З наступними двома варто ознайомитися раніше:

  • Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусам.
  • Вертикальні кути мають однакову величину.

Ці дві теореми можуть стати в нагоді в рішенні геометричних задач, пов’язаних з n-косинцями. Вони досить прості і інтуїтивно зрозумілі. Варто їх запам’ятати.

Трикутники

Трикутник – це геометрична фігура, що складається з трьох послідовно з’єднаних відрізків. Класифікують їх за кількома ознаками.

По боках (співвідношення випливають з назв):

  • Рівносторонній.
  • Рівнобедрений – дві сторони і протилежні їм кути відповідно рівні.
  • Різнобічний.

По кутах:

  • гострокутний;
  • прямокутний;
  • тупокутний.

Два кута незалежно від ситуації завжди будуть гострими, а третій визначається першою частиною слова. Тобто у прямокутного трикутника, один з кутів дорівнює 90 градусам.

Властивості:

  • Чим більше кут, тим більше протилежна йому сторона.
  • Сума всіх кутів – 180 градусів.
  • Площа можна обчислити за формулою: S = ½ ⋅ h ⋅ a, де a – сторона, h – проведена до неї висота.
  • Завжди можна вписати окружність у трикутник або ж описати її навколо нього.

Про одну з основних формул планіметрії говорить теорема Піфагора. Працює вона виключно для прямокутного трикутника і звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: AB2 = AC2 + BC2.

Під гіпотенузою розуміють сторону, протилежну куті 90°, а під катетами – прилеглі.

Дивіться також:  Що таке методичний день? Опис, особливості та рекомендації

Чотирикутники

Інформації на цю тему надзвичайно багато. Нижче наведено лише найважливіша.

Деякі різновиди:

  1. Паралелограм – протилежні сторони рівні і попарно паралельні.
  2. Ромб – паралелограм, чиї сторони мають однакову довжину.
  3. Прямокутник – це паралелограм з чотирма прямими кутами
  4. Квадрат – ромб і прямокутник.
  5. Трапеція – лише дві протилежні сторони паралельні.

Властивості:

  • Сума внутрішніх кутів дорівнює 360 градусів.
  • Площа завжди можна обчислити за формулою: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), де p – половина периметра, a, b, c, d – сторони фігури.
  • Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, тоді його називають опуклим, якщо немає – невыпуклым.