Сила – це одне з важливих понять у фізиці. Вона є причиною зміни стану будь-яких об’єктів. У цій статті розглянемо, що собою являє ця величина, які сили бувають, а також покажемо, як знаходити проекції сили на вісь і на площину.
Сила і її фізичний зміст
У фізиці сила – це векторна величина, яка показує зміну кількості руху тіла за одиницю часу. Дане визначення вважає чинності динамічною характеристикою. З точки зору статики сила у фізиці – це міра пружною або пластичної деформації тел.
Міжнародна система СІ виражає силу в ньютонах (Н). Що таке 1 ньютон, простіше всього зрозуміти на прикладі другого закону класичної механіки. Математична запис його наступна:
F = m*a
Тут F – деяка зовнішня сила, що діє на тіло масою m, що і приводить до прискорення a. З формули слід кількісне визначення одного ньютона: 1 Н – це така сила, яка приводить до зміни швидкості тіла масою 1 кг на 1 м/с за кожну секунду.
Прикладами динамічного прояву сили є прискорення автомобіля або вільно падаючого тіла в гравітаційному земному полі.
Статичний прояв сили, як було зазначено, пов’язане з явищами деформації. Тут слід навести наступні формули:
F = P*S
F = -k*x
Перший вираз пов’язує силу F з тиском P, яке вона справляє на деяку площадку S. Через цю формулу 1 Н можна визначити як тиск в 1 паскаль, що додається до майданчику 1 м2. Наприклад, стовп атмосферного повітря на рівні моря тисне на майданчик 1 м2 з силою 105 Н!
Другий вираз є класичною формою запису закону Гука. Наприклад, розтягування або стискання пружини на лінійну величину x приводить до виникнення протидіє сили F (у виразі k – коефіцієнт пропорційності).
Які сили бувають
Вище вже було показано, що сили можуть бути статичні і динамічні. Тут скажемо, що крім цієї особливості, вони можуть бути силами контакту або дальнодействующіх. Наприклад, сила тертя, реакції опори – це контактні сили. Причина їх появи полягає в справедливості принципу Паулі. Останній свідчить, що два електрони не можуть займати одне і те ж стан. Саме тому дотик двох атомів призводить до їх відштовхування.
Дальнодействующіх сили з’являються в результаті взаємодії тіл через деякий полі-носій. Наприклад, такими є сила гравітації або електромагнітна взаємодія. Обидві сили мають нескінченний радіус дії, однак, їх інтенсивність падає, як квадрат відстані (закони Кулона і всесвітнього тяжіння).
Сила – векторна величина
Розібравшись зі змістом даної фізичної величини, можна перейти до вивчення питання проекції сили на вісь. В першу чергу зауважимо, що дана величина є векторною, тобто вона характеризується модулем і напрямом. Покажемо, як розраховувати модуль сили і її напрямок.
Відомо, що будь-який вектор можна визначити однозначно в цій системі координат, якщо відомі координати його початку і кінця. Припустимо, що є певний спрямований відрізок MN. Тоді його напрямок і модуль можна визначити з допомогою наступних виразів:
MN = (x2-x1; y2-y1; z2-z1);
|MN| = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2).
Тут координати з індексами 2 відповідають точці N, з індексами 1 – точці M. Вектор MN спрямований M N.
Для спільності ми показали, як знаходити модуль і координати (напрямок) вектора у тривимірному просторі. Аналогічні формули без третьої координати справедливі для випадку на площині.
Таким чином, модуль сили – це її абсолютна величина, виражена в ньютонах. З точки зору геометрії, модуль – це довжина спрямованого відрізка.
Що таке проекція сили на вісь?
Мова про проекціях спрямованих відрізків на координатні осі і площини найзручніше вести, якщо попередньо розташувати відповідний вектор у початку координат, тобто в точці (0; 0; 0). Припустимо, що у нас є деякий вектор сили F. Помістимо його початок в точку (0; 0; 0), тоді координати вектора можна записати так:
F = ((x1 – 0); (y1 – 0); (z1 – 0)) = (x1; y1; z1).
Вектор F показує напрям сили в просторі в даній координатної системи. Тепер проведемо перпендикулярні відрізки з кінця F до кожної з осей. Відстань від точки перетину перпендикуляра з відповідною віссю до початку координат називається проекцією сили на вісь. Не важко здогадатися, що у випадку з силою F її проекції на осі x, y і z будуть рівні x1, y1 і z1, відповідно. Зауважимо, що ці координати показують модулі проекцій сили (довжину відрізків).
Кути між силою і її проекціями на координатні осі
Обчислення цих кутів не є складним завданням. Все, що потрібно для її вирішення, – це знання властивостей тригонометричних функцій і вміння застосовувати теорему Піфагора.
Наприклад, визначимо кут між напрямком сили і її проекцією на вісь x. Відповідний прямокутний трикутник буде утворений гіпотенузою (вектор F) і катетом (відрізок x1). Другий катет – це відстань від кінця вектора F до осі x. Кут α між F і віссю x обчислюється за формулою:
α = arccos(|x1|/|F|) = arccos(x1/√(x12+y12+z12)).
Як бачимо, для визначення кута між віссю і вектором необхідно і достатньо знати координати кінця спрямованого відрізка.
Для кутів з іншими осями (y z) можна записати аналогічні вирази:
β = arccos(|y1|/|F|) = arccos(y1/√(x12+y12+z12));
γ = arccos(|z1|/|F|) = arccos(z1/√(x12+y12+z12)).
Зауважимо, що у всіх формулах стоять модулі в чисельники, що виключає появу тупих кутів. Між силою і її осьовими проекціями кути завжди менше або рівні 90o.
Сила і її проекції на площині координат
Визначення проекції сили на площину не відрізняється від такого для осі, тільки в даному випадку перпендикуляр слід опускати не на вісь, а на площину.
У випадку просторової прямокутної системи координат ми маємо три взаємно перпендикулярні площини xy (горизонтальна), yz (фронтальна вертикальна), xz (бічна вертикальна). Точки перетину опущених з кінця вектора перпендикулярів до названих площинах рівні:
(x1; y1; 0) для xy;
(x1; 0 ; z1) для xz;
(0 ; y1; z1) для zy.
Якщо кожну з зазначених точок з’єднати з початком координат, то ми отримаємо проекції сили F на відповідну площину. Чому дорівнює модуль сили, ми знаємо. Щоб знайти модуль кожній проекції, необхідно застосувати теорему Піфагора. Позначимо проекції на площині як Fxy, Fxz і Fzy. Тоді для їх модулів будуть справедливі рівності:
Fxy = √(x12+y12);
Fxz = √(x12+ z12);
Fzy = √(y12+ z12).
Кути між проекціями на площину і вектором сили
У пункті вище були наведені формули для модулів проекцій на площину розглянутого вектора F. Ці проекції разом з відрізком і відстанню F від його кінця до площини утворюють прямокутні трикутники. Тому, як і у випадку з проекціями на вісь, можна скористатися визначенням тригонометричних функцій, щоб обчислити розглядаються кути. Можна записати такі рівності:
α = arccos(Fxy /|F|) = arccos(√(x12+y12) /√(x12+y12+z12));
β = arccos(Fxz/|F|) = arccos(√(x12+z12)/√(x12+y12+z12));
γ = arccos(Fzy/|F|) = arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12+z12)).
Важливо розуміти, що кут між напрямком сили F і відповідної її проекцією на площину дорівнює куту між F і цією площиною. Якщо розглядати цю задачу з точки зору геометрії, то можна сказати, що спрямований відрізок F є похилій по відношенню до площинах xy, xz і zy.
Де використовуються проекції сил?
Наведені формули для проекції сили на осі координат на площині представляють не тільки теоретичний інтерес. Вони часто використовуються при вирішенні фізичних задач. Сам процес знаходження проекцій називається розкладанням сили на її складові. Останні являють собою вектора, сума яких повинна дати вихідний вектор сили. У загальному випадку можна розкласти силу на довільні складові, проте, для вирішення завдань зручно користуватися саме проекціями на перпендикулярні осі і площини.
Завдання, де застосовуються поняття проекцій сил, можуть бути самими різними. Наприклад, той же другий закон Ньютона припускає, що зовнішня сила F, що діє на тіло, повинна бути спрямована так само, як вектор швидкості v. Якщо їх спрямування розрізняються на деякий кут тоді, щоб рівність залишалось справедливим, підставляти в нього вже не саму силу F, а її проекцію на напрям v.
Далі наведемо кілька прикладів, де покажемо, як користуватися записаними формулами.
Завдання на визначення проекцій сили на площині і на осі координат
Припустимо, що є деяка сила F, яка представлена вектором, що має наступні координати кінця і початку:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Необхідно визначити модуль сили, а також всі її проекції на координатні осі і площини і кути між F і кожної її проекцією.
Почнемо вирішувати завдання з обчислення координат вектора F. Маємо:
F = (-1; 4; -1) – (2; 0; 1) = (-3; 4; -2).
Тоді модуль сили буде дорівнює:
|F| = √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,385 Н.
Проекції на осі координат дорівнюють відповідним координатами вектора F. Розрахуємо кути між ними і напрямком F. Маємо:
α = arccos (|-3 |/5,385) ≈ 56,14 o;
β = arccos (|4|/5,385) ≈ 42,03 o;
γ = arccos (|-2|/5,385) ≈ 68,20 o.
Оскільки координати вектора F відомі, можна розрахувати модулі проекцій сили на площині координат. Користуючись наведеними вище формулами, отримуємо:
Fxy = √(9 +16 ) = 5 М;
Fxz = √(9 + 4 ) = 3,606 Н;
Fzy = √(16 + 4 ) = 4,472 Н.
Нарешті, залишається обчислити кути між знайденими проекціями на площину і вектором сили. Маємо:
α = arccos(Fxy /|F|) = arccos(5/5,385) ≈ 21,8 o;
β = arccos(Fxz/|F|) = arccos(3,606/5,385) ≈ 48,0 o;
γ = arccos(Fzy/|F|) = arccos(4,472/5,385) ≈ 33,9 o.
Таким чином, вектор F ближче всього нахилений до координатній площині xy.
Завдання з ковзаючим бруском по похилій площині
Тепер вирішимо фізичну задачу, де необхідно буде застосувати концепцію проекції сили. Нехай дана дерев’яна похила площина. Кут її нахилу до горизонту дорівнює 45o. На площині знаходиться дерев’яний брусок, який має масу 3 кг. Необхідно визначити, з яким прискоренням буде переміщатися цей брусок по площині вниз, якщо відомо, що коефіцієнт тертя ковзання дорівнює 0,7.
Для початку складемо рівняння руху тіла. Оскільки на нього будуть діяти дві сили (проекція сили тяжіння на площину і сила тертя), то рівняння прийме вид:
Fg – Ff = m*a =>
a = (Fg – Ff)/m.
Тут Fg, Ff – проекція сили тяжіння і сила тертя, відповідно. Тобто задача зводиться до обчислення їх значень.
Оскільки кут, під яким площина нахилена до горизонту, дорівнює 45 o, то неважко показати, що проекція сили тяжіння Fg уздовж поверхні площині буде дорівнює:
Fg = m*g*sin(45o) = 3*9,81/√2 ≈ 20,81 Н.
Ця проекція сили прагне вивести зі стану спокою дерев’яний брусок і надати йому прискорення.
Згідно визначенню, сила тертя ковзання дорівнює:
Ff = μ*N
Де μ = 0,7 (див. умову задачі). Сила реакції опори N дорівнює проекції сили ваги на вісь, перпендикулярну похилій площині, тобто:
N = m*g*cos(45o)
Тоді сила тертя дорівнює:
Ff = μ*m*g*cos(45o) = 0,7*3*9,81/√2 ≈ 14,57 Н.
Підставляємо знайдені сили в рівняння руху, отримуємо:
a = (Fg – Ff)/m = (20,81 – 14,57)/3 = 2,08 м/с2.
Таким чином, брусок буде спускатися по похилій площині, збільшуючи за кожну секунду свою швидкість на 2,08 м/с.
