В математиці підсумовування (позначається великим символом грецької сігми) є набором складових чисел. Що таке сума? Це і є результат такої дії. Якщо числа додаються одне за іншим зліва направо, тоді проміжний результат являє собою часткову суму.
Що таке сума?
Числа, які повинні бути підсумовані, можуть бути цілими, раціональними, дійсними або комплексними. Крім них можуть бути додані і інші типи значень: вектори, матриці, многочлени і взагалі елементи будь адитивної групи (або навіть моноида).
Якщо кількість елементів доданків звичайно, то підсумовування завжди дає чітко визначене значення. Підсумовування нескінченної послідовності значень називається поруч. Його величина може бути визначена за допомогою межі (хоча іноді значення може бути нескінченним).
Послідовності
Підсумовування чисел [3, 7, 2 ,1] можна визначити виразом, значення якого являє собою суму цифр, що входять в нього, наприклад 3 + 7 + 2 + 1 = 13. Оскільки додавання асоціативно, сума не залежить від того, як згруповані складові, наприклад, (3 + 7) + (2+ 1) і 3 + ((7 + 2) + 1) обидва рівні дев’яти, тому зазвичай обходяться без дужок. Додавання також коммутативно, тому перестановка членів не змінює значення суми. Варто зауважити, що для нескінченного підсумовування це властивість може не працювати.
Немає ніяких спеціальних позначень для підсумовування послідовностей такого виду. Існує лише невеликий нюанс, якщо є менш двох елементів. Запис підсумовування послідовності одного члена не містить знака плюс (вона відрізняється від виду самого числа), а якщо елементів і зовсім немає, то вона навіть не може бути записана (але замість цього можна позначить її значення “0”). Якщо, проте, члени послідовності задаються певним шаблоном, наприклад функцією, то оператор підсумовування може бути корисним або навіть істотним.
Запис
Для розуміння, що таке сума, також необхідно розібрати її зовнішній вигляд.
Для підсумовування послідовності цілих чисел від 1 до 100 часто використовують вираз, що включає три крапки, щоб вказати відсутні члени: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100. Шаблон досить легко проглядається в даному прикладі. Однак для більш складних варіантів необхідно точно вказати правило, використовується для пошуку величини елементів, що може бути досягнуто з допомогою оператора підсумовування “Σ”. Використовуючи цей символ (сигма), можна застосувати запис наступного виду:
Значення цього виразу одно 5050. Його можна знайти, скориставшись математичної індукції, звідки і взялася друга частина формули.
Для різних послідовностей формула буде видозмінюватися. Процес запису зводиться до пошуку прообраз деякої нескінченної послідовності і подальшим описом його формулою. Зробивши це, неважко зрозуміти, що така сума у конкретному випадку.
Коли необхідно уточнити, що числа додаються разом з їх знаками (плюс або мінус), використовується термін алгебраїчна сума. Наприклад, в теорії електричних ланцюгів закони ланцюга Кірхгофа розглядають алгебраїчну суму струмів у мережі провідників, що зустрічаються в точці, задаючи протилежні знаки струмів, поточним і з сайту.
