Символічна логіка – це галузь науки, яка вивчає правильні форми міркувань. Вона відіграє фундаментальну роль у філософії, математики та інформатики. Подібно до філософії і математики, логіка має давні корені. Найбільш ранні трактати про природу правильних міркувань були написані більше 2000 років тому. Деякі з найбільш відомих філософів Стародавньої Греції писали про характер утримання понад 2300 років тому. Мислителі стародавнього Китаю писали про логічні парадокси приблизно в той же час. Хоча її коріння сягають у далеке минуле, логіка залишається яскравою областю дослідження.
Математична символічна логіка
Розуміти і міркувати теж треба вміти, саме тому логічним висновком приділялася особлива увага, коли не було спеціального обладнання для аналізу і діагностики самих різних областей життя. Сучасна символічна логіка виникла на основі творчості Аристотеля (384-322 рр. до н. е.) – великого грецького філософа і одного з найвпливовіших мислителів усіх часів. Подальші успіхи були зроблені грецьким стоїчним філософом Хрисиппом, який розробив основи того, що ми тепер називаємо пропозиційну логікою.
Активний розвиток отримала лише в XIX столітті математична чи символічна логіка. З’явилися роботи Буля, де Моргана, Шредера, в яких вчені проводили алгебризацию вчення Аристотеля, тим самим сформувавши основу обчислення висловлювань. Далі послідували роботи Фреге і Приса, у яких були введені поняття змінних і кванторов, які почали застосовуватися в логіці. Так було сформовано обчислення предикатів – тверджень про суб’єкта.
Логіка передбачала доказовість незаперечних фактів, коли прямих підтверджень правди не було. Логічні вирази повинні були переконати співрозмовника в правдивості.
Логічні формули шикувалися за принципом математичного докази. Так переконували співрозмовників у точності і достовірності.
Проте всі форми аргументів були написані словами. Формальні механізми, які створювали б логічне числення вирахування, були відсутні. Люди почали сумніватися, а не прикривається чи вчений математичними обчисленнями, ховаючи за ними безглуздість своїх припущень, адже кожен може представити свої аргументи в іншу користь.
Народження осмисленості: тверда логіка математики, як доказ істини
Ближче до кінця 18 століття математична чи символічна логіка з’явилася у вигляді науки, яка передбачала процес вивчення правильності висновків. Вони повинні були мати логічний кінець і зв’язок. Але як було довести або виправдати дані дослідження?
Великий німецький філософ і математик Готфрід Лейбніц одним із перших усвідомив необхідність формалізації логічних аргументів. Це була мрія-Лейбніца: створити універсальний формальний мову науки, який би звів всі філософські суперечки до простого розрахунку, переробивши міркування в таких дискусіях на цій мові. З’явилася математична чи символічна логіка у вигляді формул, які полегшували завдання і рішення у філософських питаннях. Та й ця область науки стала більш вагомою, адже безглузда філософська балаканина тоді ставала дном, на яке спирається сама математика!
В наш час традиційна логіка є символічною аристотелівської, яка проста і невибаглива. У 19 столітті наука зіткнулася з парадоксом множин, які народжували нестикування тих самих відомих рішень логічних послідовностей Аристотеля. Цю проблему потрібно було вирішувати, адже в науці не може бути навіть поверхневих помилок.
Формальність Льюїса Керрола – символічна логіка та етапи її перетворення
Формальна логіка зараз – це предмет, який входить в курс навчання. Однак своїй появі вона зобов’язана символічною, тієї самої, яка була створена спочатку. Символічна логіка є методом представлення логічних виразів з використанням символів та змінних, а не звичайної мови. Це дозволяє усунути двозначність, яка супроводжує звичайні мови, такі як російська, і дозволяє спростити роботу.
Існує безліч систем символічної логіки, таких як:
- Класична пропозиціональна.
- Логіка першого порядку.
- Модальна.
Символічна логіка в розумінні Льюїса Керолла повинна була б вказати на істинне і помилкове твердження в заданому питанні. Кожен може мати окремі символи або виключати використання певних знаків. Ось кілька прикладів висловлювань, замикаючих логічний ланцюжок висновків:
- Всі люди, які ідентичні мені – істоти, які існують.
- Всі герої, які ідентичні Бетмена – істоти, які існують.
- Тому (оскільки Бетмена і мене ніколи не бачили в одному місці), всі люди, ідентичні мені, є героями, ідентичними Бетмену.
Це недійсний силогізм форми, але це та ж структура, що і наступна:
- Всі собаки – це ссавці.
- Всі кішки – це ссавці.
- Тому всі собаки – це кішки.
Повинно бути очевидно, що наведена вище символічна форма в логіці недійсна. Проте в логіці справедливість визначається таким виразом: якби приміщення було істинним, то висновок було б істинним. Це явно не так. Те ж саме буде для прикладу з героєм, який має однакову форму. Валідність застосовується тільки до дедуктивних аргументів, які покликані довести їх укладення з упевненістю, так як дедуктивний аргумент не може бути дійсним. Ці «поправки» також застосовуються в статистиці, коли є результат похибки даних, і сучасна символічна логіка як формальність спрощених даних допомагає у багатьох цих питаннях.
Індукція в сучасній логіці
Індуктивний аргумент призначений тільки для того, щоб продемонструвати свій висновок з високою ймовірністю або опровержимостью. Індуктивні аргументи або сильні або слабкі.
В якості індуктивного аргументу приклад супергероя Бетмена просто слабкий. Сумнівно, що Бетмен існує, тому одне з тверджень вже неправильне з великою ймовірністю. Хоча ви ніколи не бачили його у тому ж місці, що і хтось інший, вважати дане вираз доказом безглуздо. Щоб зрозуміти суть логіки, уявіть:
- Вас ніколи не бачили в тому ж місці, що і уродженця Гвінеї.
- Це неправдоподібно, що ви та людина з Гвінеї – це один і той же чоловік.
- Тепер уявіть, що ви з африканцем ніколи не бачилися в одному місці. Це неправдоподібно, що ви й африканець – це один і той же чоловік. Але гвінеєць і африканець перетиналися, тому ви не можете бути одночасно з обома. Докази того, що ви – це африканець або гвінеєць, істотно знизилися.
З цієї точки зору сама ідея символічної логіки не передбачає апріорного відношення до математики. Все, що потрібно для розпізнавання логіки як символу, це широке використання символів для представлення логічних операцій.
Логічна теорія Керолла: заплутаність або мінімалізм в математичній філософії
Керролл вивчив деякі незвичайні шляхи, які змусили його вирішити досить складні проблеми, з якими зіткнулися його колеги. Це завадило йому домогтися значних успіхів із-за складності логічних позначень і систем, які він отримав в результаті своїх робіт. Сенс існування символічної логіки Керролла – проблема усунення. Як знайти висновок, який повинен бути зроблений з набору передумов щодо стосунки між заданими термінами? Усуваючи «середні терміни».
Саме для вирішення цієї центральної проблеми логіки середини дев’ятнадцятого століття винаходили символічні, діаграмні, навіть механічні пристрої. Однак методи Керролла для обробки таких «логічних послідовностей» (як він їх називав) не завжди давали вірне рішення. Пізніше філософ опублікував дві статті про гіпотезах, які відображені в журналі «Розум»: «Логічний парадокс» (1894) і «Що сказала черепаха Ахіллесу» (1895).
Ці статті широко обговорювалися логіками дев’ятнадцятого і двадцятого століть (Пірс, Расселл, Райл, Пріор, Куайн тощо). Перша стаття часто згадується як хороша ілюстрація парадоксів матеріальної імплікації, а друга призводить до того, що відомо як парадокс виводу.
Простота символів в логіці
Символічний мову логіки – це заміна довгих двозначних пропозицій. Зручно, оскільки в російській мові можна сказати одне і те ж про різних обставин, що дасть можливість заплутатися, а в математиці символи будуть замінювати ідентичність кожного сенсу.
- По-перше, стислість важлива для ефективності. Символічна логіка не може обійтися без знаків та позначень, інакше вона залишилася б лише філософської, без права на справжнє значення.
- По-друге, символи полегшують перегляд і формулюють логічні істини. Пункти 1 і 2 заохочують «алгебраїчну» маніпуляцію логічними формулами.
- По-третє, коли логіка виражає логічні істини, символічна формулювання заохочує вивчення структури логіки. Це зв’язано з попереднім пунктом. Таким чином, символічна логіка піддається математичному вивчення логіки, яка є гілкою суб’єкта математичної логіки.
- По-четверте, при повторенні відповіді використання символів – це допомогу в запобіганні невизначеності (наприклад, множинних значень) звичайної мови. Також це допомагає забезпечити унікальність сенсу.
Нарешті, символічний мову логіки дозволяє проводити обчислення предикатів, яке було введено Фреге. За минулі роки символічне позначення самого обчислення предикатів було відточене і стало більш ефективним, так як хороша нотація важлива в математиці та логіці.
Онтологія античності Аристотеля
Роботами мислителя зацікавилися вчені, коли стали використовувати в своїх інтерпретаціях методи Слинина Я. А. “Символічна логіка” – це підручник, написаний ученим і випущений в Санкт-Петербурзі. У книзі представлені теорії класичної та модальної логіки. Важливою частиною концепції ставало приведення до КНФ в символічній логіці формули логіки висловлювання. Скорочення означає кон’юнкцію або диз’юнкцію змінних.
Слинин Я. А. припустив, що складні заперечення, які вимагає неодноразового приведення формул, повинні перетворитися в подформулу. Таким чином він перетворював деякі значення у понад мінімальні і розв’язував задачі в скороченому варіанті. Робота з запереченнями зводилася до формули де Моргана. Закони, які носять ім’я де Моргана, являють собою кілька пов’язаних один з одним теорем, які роблять можливим перетворення тверджень і формул в альтернативні і часто більш зручні. Закони полягають у наступному:
- Заперечення (або суперечливість) диз’юнкції одно об’єднанню заперечення альтернатив – p або q одно не p і не q або символічно ~ (p ⊦ q) ≡ ~p · ~q.
- Заперечення кон’юнкції одно заперечення диз’юнкції вихідних конъюнктов, тобто не (p і q) одно не p або не q, або символічно ~ (p · q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Завдяки цим вихідним даним багато математики стали застосовувати формули для вирішення складних логічних задач. Багатьом відомо, що є курс лекцій, де вивчається область перетину функцій. І матрична інтерпретація також базується на формулах логічності. У чому ж суть логіки в алгебраїчної зв’язку? Це рівнева лінійна функція, коли на одну чашу можна поставити науку про числа та філософію як «бездушну» і не рентабельну сферу міркувань. Хоча Кант Е. вважав інакше, будучи математиком і філософом. Він відзначав, що філософія є ніщо, поки не доведено інше. А доказ має бути науково обґрунтованим. Так і вийшло, що філософія стала мати значимість завдяки поєднанню з цією природою чисел і обчислень.
Застосування логіки в науці і матеріальному світі дійсності
Філософи зазвичай не застосовують науку логічного роздуми лише в якомусь амбітному постградусном проекті (зазвичай з високим ступенем спеціалізації, наприклад, шляхом додавання в соціальну науку, психологію або етичну категоризацію). Парадоксально, що філософська наука «народила» метод розрахунку істини і брехні, однак самі філософи їм не користуються. Так для кого ж створені та перетворені настільки чіткі математичні силогізми?
- Програмісти і інженери застосовували символічну логіку (яка не так сильно відрізняється від первинної) для впровадження комп’ютерних програм і навіть проектування плат.
- У разі комп’ютерів логіка стала досить складною, щоб обробляти численні виклики функцій, а також просувати математику і вирішувати математичні завдання. Велика частина її заснована на знанні математичного вирішення проблем та ймовірності в поєднанні з логічними правилами винятку, розширення і сводимости.
- Комп’ютерні мови не можуть бути легко зрозумілі, щоб працювати логічно в межах знання математики і навіть виконувати спеціальні функції. Велика частина комп’ютерного мови, ймовірно, запатентована чи зрозуміла тільки комп’ютерам. Тепер програмісти часто дозволяють комп’ютерам самим робити логічні завдання та вирішувати їх.
У ході таких передумов багато вчених припускають створення просунутого матеріалу не заради науки, а для зручності використання засобів інформації і технологій. Бути може, скоро логіка просочиться у сфери економіки, бізнесу і навіть «лукаву» кванта, який веде себе і як атом, і як хвиля.
Квантова логіка в сучасній практиці математичного аналізу
Квантова логіка (QL) була розроблена як спроба побудувати пропозициональную структуру, яка дозволила б описати цікаві події в квантовій механіці (QM). QL замінила булеву структуру, яка була недостатньою для подання атомного царства, хоч і підходить для дискурсу класичної фізики.
Математична структура пропозиционального мови про класичних системах являє собою набір потужностей, частково упорядкований по безлічі включення, з парою операцій, представляють об’єднання і диз’юнкцію.
Ця алгебра узгоджується з дискурсом як класичних, так і релятивістських явищ, але несумісна в теорії, яка забороняє, наприклад, давати одночасні значення істинності. Пропозиція батьків-засновників QL створене, щоб замінити булеву структуру класичної логіки більш слабкою структурою, яка б послаблювала дистрибутивні властивості кон’юнкції і диз’юнкції.
Ослаблення усталеного символічного впровадження: чи потрібна істина в математиці як точної науки
Під час свого розвитку квантова логіка початку посилатися не тільки на традиційну, але і на кілька напрямів сучасних досліджень, які намагалися зрозуміти механіку з логічної точки зору. Було представлено множинних квантових підходів, щоб ввести різні стратегії і проблеми, які обговорюються в літературі квантової механіки. Коли це можливо, виключені непотрібні формули, щоб дати інтуїтивне розуміння понять до отримання або введення пов’язаної математики.
Багаторічний питання в інтерпретації квантової механіки полягає в тому, доступні принципово класичні пояснення для квантовомеханических явищ. Квантова логіка зіграла більшу роль у формуванні та уточненні цього обговорення, зокрема дозволяючи нам бути досить точним щодо того, що ми розуміємо під класичним поясненням. Тепер з точністю можна встановити, які теорії можна вважати достовірними, а які – логічним завершенням математичних суджень.
