Піраміда – просторова геометрична фігура, характеристики якої вивчають у старших класах школи в курсі стереометрії. У цій статті розглянемо трикутну піраміду, її види, а також формули для розрахунку площі її поверхні.
Про який піраміді піде мова?
Трикутна піраміда являє собою фігуру, яку можна отримати, якщо з’єднати всі вершини довільного трикутника з однією єдиною точкою, що не лежить у площині трикутника. Згідно з цим визначенням розглянута піраміда повинна складатися з вихідного трикутника, який називається підставою фігури, і трьох бічних трикутників, які мають по одній загальній стороні з підставою і з’єднані один з одним в точці. Остання називається вершиною піраміди.
Малюнок вище демонструє довільну трикутну піраміду.
Розглянута фігура може бути похилій або прямий. В останньому випадку перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на її основу, повинен його перетинати в геометричному центрі. Геометричним центром будь-якого трикутника є точка перетину його медіан. Геометричний центр збігається з центром мас фігури у фізиці.
Якщо в основі прямої піраміди буде лежати правильний (рівносторонній) трикутник, то вона називається правильної трикутної. У правильній піраміді всі бічні сторони дорівнюють один одному і являють собою рівносторонні трикутники.
Якщо висота правильної піраміди така, що її бічні трикутники стають рівносторонніми, то вона називається тетраедром. У тетраэдре всі чотири грані рівні один одному, тому кожна з них може покладатися підставою.
Елементи піраміди
До цих елементів відносяться межі або сторони фігури, її ребра, вершини, висота і апофемы.
Як було показано, всі сторони трикутної піраміди з трикутниками. Їх число дорівнює 4 (3 бічних і один в підставі).
Вершини – це точки перетину трьох трикутних сторін. Не складно здогадатися, що для розглянутої піраміди їх 4 (3 належать основи і 1 – вершина піраміди).
Ребра можна визначити, як лінії перетину двох трикутних сторін, або як лінії, які з’єднують кожні дві вершини. Кількість ребер відповідає подвоєному числу вершин підстави, тобто для трикутної піраміди воно дорівнює 6 (3 ребра належать основи і 3 ребра утворені боковими гранями).
Висота, як вище було зазначено, є довжиною перпендикуляра, проведеного з вершини піраміди до її основи. Якщо з цієї вершини провести висоти до кожної із сторін трикутного підстави, то вони будуть називатися апотемами (або апофемами). Таким чином, трикутна піраміда має одну висоту і три апофемы. Останні дорівнюють один одному для правильної піраміди.
Підстава піраміди та його площа
Оскільки підстава для даної фігури в загальному випадку являє собою трикутник, то для розрахунку його площі досить знайти його висоту ho і довжину сторони основи a, на яку вона опущена. Формула для площі So підстави має вигляд:
So = 1/2*ho*a
Якщо трикутник підстави є рівностороннім, тоді площа основи трикутної піраміди обчислюється за такою формулою:
So = √3/4*a2
Тобто площа So однозначно визначається довжиною сторони a трикутного підстави.
Бічна і загальна площа фігури
Перш ніж розглядати площа трикутної піраміди, корисно привести її розгортку. Вона зображена на малюнку нижче.
Площа цієї розгортки, утвореної чотирма трикутниками, є загальною площею піраміди. Один з трикутників відповідає основи, формула для розглянутої величини якого була записана вище. Три бічних трикутних межі в сумі утворюють бічну площа фігури. Тому для визначення цієї величини досить до кожного з них застосувати записану вище формулу для довільного трикутника, а потім, скласти три отриманих результату.
Якщо піраміда є правильною, то розрахунок площі бічної поверхні полегшується, оскільки всі бічні грані являють собою однакові рівносторонні трикутники. Позначимо hb довжину апотемы, тоді площа бічної поверхні Sb можна визначити так:
Sb = 3/2*a*hb
Ця формула випливає із загального виразу для площі трикутника. Цифра 3 з’явилася в чисельники з-за того, що піраміда має три бічні грані.
Апотему hb в правильній піраміді можна обчислити, якщо відома висота фігури h. Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо:
hb = √(h2 + a2/12)
Очевидно, що загальна площа поверхні S фігури дорівнює сумі площ бічної поверхні і основи:
S = So + Sb
Для правильної піраміди, підставляючи усі відомі величини, отримуємо формулу:
S = √3/4*a2 + 3/2*a*√(h2 + a2/12)
Площа трикутної піраміди залежить тільки від довжини сторони її заснування і від висоти.
Приклад завдання
Відомо, що бічне ребро трикутної піраміди дорівнює 7 см, а сторона підстави становить 5 див. Необхідно знайти площу поверхні фігури, якщо відомо, що піраміда є правильною.
Скористаємося рівністю загального виду:
S = So + Sb
Площа So дорівнює:
So = √3/4*a2 = √3/4*52 ≈ 10,825 см2.
Для визначення площі бічної поверхні, необхідно знайти апотему. Не важко показати, що через довжину бічного ребра ab вона визначається за формулою:
hb = √(ab2 – a2/4) = √(7 2 – 52/4) ≈ 6,538 див.
Тоді площа Sb дорівнює:
Sb = 3/2*a*hb = 3/2*5*6,538 = 49,035 см2.
Загальна площа піраміди складає:
S = So + Sb = 10,825 + 49,035 = 59,86 см2.
Зауважимо, що при вирішенні завдання ми не використовували в розрахунках значення висоти піраміди.
