Поняття ступеня в галузі математики вводиться ще в 7 класі на уроці алгебри. І надалі протягом усього курсу вивчення математики це поняття активно використовується в різних своїх видах. Ступеня – досить важка тема, що вимагає запам’ятовування значень і уміння правильно і швидко порахувати. Для більш швидкої і якісної роботи зі ступенями математики придумали властивості степеня. Вони допомагають скоротити великі обчислення, перетворити величезний приклад в одне число в будь-якій мірі. Властивостей не так вже й багато, і всі вони легко запам’ятовуються і застосовуються на практиці. Тому в статті розглянуто основні властивості степеня, а також те, де вони застосовуються.
Властивості степеня
Ми розглянемо 12 властивостей ступеня, в тому числі і властивості степенів з однаковими основами, і до кожного властивості наведемо приклад. Кожне з цих властивостей допоможе вам швидше вирішувати завдання зі ступенями, а так само врятує вас від численних обчислювальних помилок.
1-е властивість.
а0 = 1
Про це властивість багато хто дуже часто забувають, роблять помилки, представляючи число в нульовому як нуль.
2-е властивість.
а1 = а
3-е властивість.
ап * am = a(n+m)
Потрібно пам’ятати, що це властивість можна застосовувати тільки при добутку чисел, при сумі воно не працює! І не можна забувати, що це, і наступне, властивості застосовуються тільки до ступенями з однаковими підставами.
4-е властивість.
an/am = a(n-m)
Якщо в знаменнику число зведено в негативну ступінь, то при відніманні ступінь знаменника береться в дужки для правильної заміни знака при подальших обчисленнях.
Властивість працює тільки при розподілі, при відніманні не застосовується!
5-е властивість.
(an)m = a(n*m)
6-е властивість.
an = 1/an
Це властивість можна застосувати і у зворотний бік. Одиниця поділена на число в якійсь мірі є це число в мінусовій ступеня.
7-е властивість.
(a*b)m = am * bm
Це властивість не можна застосовувати до суми і різниці! При зведенні в ступінь суми або різниці використовуються формули скороченого множення, а не властивості степеня.
8-е властивість.
(a/b)n = an/bn
9-е властивість.
а½ = √а
Це властивість працює для будь дробового степеня з чисельником, рівним одиниці, формула буде та ж, тільки ступінь кореня буде змінюватися в залежності від ступеня знаменника.
Також це властивість часто використовують у зворотному порядку. Корінь будь-якого ступеня з числа можна представити, як це число в ступені одиниця поділена на ступінь кореня. Це властивість дуже корисно у випадках, коли корінь з числа не витягується.
10-е властивість.
(√а)2 = а
Це властивість працює не тільки з квадратним коренем і другим ступенем. Якщо ступінь кореня і ступінь, в яку зводять цей корінь, збігаються, то відповіддю буде підкореневий вираз.
11-е властивість.
n √an = a
Це властивість потрібно вміти вчасно побачити при вирішенні, щоб позбавити себе від величезних обчислень.
12-е властивість.
am/n = n √am
Кожне з цих властивостей не раз зустрінеться вам у завданнях, воно може бути дано в чистому вигляді, а може вимагати деяких перетворень і застосування інших формул. Тому для правильного вирішення мало знати тільки властивості, потрібно практикуватися і підключати інші математичні знання.
Застосування ступенів та їх властивостей
Вони активно застосовуються в алгебрі і геометрії. Ступеня в галузі математики мають окреме важливе місце. З їх допомогою вирішуються показові рівняння і нерівності, а так само ступенями часто ускладнюють рівняння і приклади, що відносяться до інших розділів математики. Мірою допомагають уникнути великих і довгих розрахунків, ступеня легше скорочувати й обчислювати. Але для роботи з великими ступенями, або зі ступенями великих чисел, потрібно знати не тільки властивості степеня, а грамотно працювати і з підставами, вміти їх розкласти, щоб полегшити собі завдання. Для зручності слід знати ще й значення чисел, зведені в ступінь. Це скоротить ваш час при вирішенні, виключивши необхідність тривалих обчислень.
Особливу роль поняття мірою грає в логарифмах. Так як логарифм, по суті своїй, є ступінь числа.
Формули скороченого множення – ще один приклад використання ступенів. В них не можна застосовувати властивості ступенів, вони розкладаються за особливими правилами, але у кожної формули скороченого множення незмінно присутні ступеня.
Так само активно використовуються у фізиці і інформатиці. Всі перекази в систему СІ виробляються з допомогою ступенів, а в подальшому при вирішенні завдань застосовуються властивості степеня. В інформатиці активно використовуються ступеня двійки, для зручності рахунку та спрощення сприйняття чисел. Подальші розрахунки по переведенням одиниць вимірювання або розрахунки завдань, так само, як і у фізиці, відбуваються з використанням властивостей ступеня.
Ще мірою дуже корисні в астрономії, там рідко можна зустріти застосування властивостей ступеня, але самі ступеня активно використовуються для скорочення запису різних розмірів і відстаней.
Мірою застосовують і в звичайному житті, при розрахунках площ, обсягів, відстаней.
З допомогою ступенів записують дуже великі і дуже малі величини в будь-яких сферах науки.
Показові рівняння і нерівності
Особливе місце властивості мірою займають саме в показових рівняннях і нерівностях. Ці завдання дуже часто зустрічаються, як у шкільному курсі, так і на іспитах. Всі вони вирішуються за рахунок застосування властивостей степеня. Невідоме завжди знаходиться в самій мірі, тому знаючи всі властивості, вирішити таке рівняння або нерівність не складе праці.
