Двогранні кути та формули для їх обчислення. Двогранний кут при основі правильної чотирикутної піраміди

У геометрії для вивчення фігур використовують дві важливі характеристики: довжини сторін і кути між ними. У випадку просторових фігур цим характеристиками додаються двогранні кути. Розглянемо, що це таке, а також опишемо методику визначення цих кутів на прикладі піраміди.

Поняття про двугранном вугіллі

Кожен знає, що дві пересічні прямі утворюють деякий кут з вершиною в точці їх перетину. Цей кут можна виміряти за допомогою транспортира або скористатися тригонометричними функціями для його обчислення. Утворений двома прямими кут називається лінійним.

Тепер уявімо, що в тривимірному просторі є дві площини, що перетинаються по прямій. Вони зображена на малюнку.

Двугранным кутом називається кут між двома пересічними площинами. Так само як і лінійний, він вимірюється в градусах або радіанах. Якщо до будь-якої точки прямої, по якій площині перетинаються, відновити два перпендикуляра, що лежать в цих площинах, то кут між ними буде шуканим двугранным. Визначити цей кут простіше всього, якщо скористатися рівняннями площин у загальному вигляді.

Загрузка...

Рівняння площин і формула для кута між ними

Рівняння будь-якої площини у просторі в загальному вигляді записується так:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Тут x, y, z — це координати точок, що належать площині, коефіцієнти A, B, C, D — деякі відомі числа. Зручність цієї рівності для обчислення двогранних кутів полягає в тому, що воно в явному вигляді містить координати направляючого вектора площини. Будемо позначати його n. Тоді:

n = (A; B; C).

Вектор n перпендикулярний площині. Кут між двома площинами дорівнює куту між їх напрямними векторами n1 і n2. З математики відомо, що кут, утворений двома векторами, однозначно визначається з їх скалярного добутку. Це дозволяє записати формулу для обчислення двогранного кута між двома площинами:

φ = arccos (|(n1 × n2)| / (|n1| × |n2|)).

Якщо підставити координати векторів, то формула запишеться у явному вигляді:

φ = arccos (|A1 × A2 + B1 × B2 + C1 × C2| / (√(A12 + B12 + C12) × √(A22 + B22 + C22))).

Знак модуля в чисельнику використовується, щоб визначити тільки гострий кут, оскільки двогранний кут завжди менше або дорівнює 90o.

Дивіться також:  Простолюдин — це хто?

Піраміда та її кути

Пірамідою називають фігуру, яка утворена одним n-кутником і n трикутниками. Тут n — ціле число, рівне кількості сторін багатокутника, який є підставою піраміди. Ця просторова фігура є многогранником або полиэдром, оскільки вона складається з плоских граней (сторін).

Двогранні кути багатогранника-піраміди можуть бути двох типів:

  • між підставою і бічною стороною (трикутником);
  • між двома бічними сторонами.

Якщо розглядається піраміда правильна, то названі кути для неї визначити нескладно. Для цього за координатами трьох відомих точок слід скласти рівняння площин, а потім скористатися наведеною в пункті вище формулою для кута φ.

Нижче наведемо приклад, в якому покажемо, як знайти двогранні кути при основі піраміди правильної чотирикутної.

Правильна чотирикутна піраміда і кут при її підставі

Припустимо, що дана правильна піраміда з квадратною основою. Довжина сторони квадрата дорівнює a, висота фігура становить h. Знайдемо кут між основою піраміди і її бічною стороною.

Помістимо початок координатної системи в центр квадрата. Тоді координати точок A, B, C, D, показаних на малюнку, будуть рівні:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

D = (0; 0; h).

Розглянемо площині ACB і ADB. Очевидно, що направляючий вектор n1 для площини ACB буде дорівнює:

n1 = (0; 0; 1).

Для визначення направляючого вектора n2 площині ADB поступимо таким чином: знайдемо довільні два вектори, які їй належать, наприклад, AD і AB, потім, обчислимо їх векторний добуток. Його результат дасть координати n2. Маємо:

AD = D — A = (0; 0; h) — (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB = B — A = (a/2; a/2; 0) — (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n2 = [AD × AB] = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a2/2).

Оскільки множення і ділення вектора на число не змінює його напрямку, то перетворимо отриманий n2, розділивши його координати на -a, отримаємо:

n2 = (h; 0; a/2).

Ми визначили вектора направляючі n1 і n2 для площин підстави ACB і бічної сторони ADB. Залишається скористатися формулою для кута φ:

φ = arccos (|(n1 × n2)| / (|n1| × |n2|)) = arccos (a / (2 × √h2 + a2/4)).

Перетворимо отримане вираз і перезапишем його так:

φ = arccos (a / √(a2 + 4 × h 2)).

Ми отримали формулу для двогранного кута при основі для правильної чотирикутної піраміди. Знаючи висоту фігури і довжину її боку, можна розрахувати кут φ. Наприклад, для піраміди Хеопса, сторона основи якої становить 230,4 метра, а початкова висота дорівнювала 146,5 метра, кут φ буде дорівнює 51,8 o.

Дивіться також:  Що таке дидактичні матеріали? Види навчальних наочних посібників. Навчальні ігри

Визначити двогранний кут для правильної чотирикутної піраміди також можна за допомогою геометричного методу. Для цього достатньо розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою h, половиною довжини основи a/2 і апофемой рівнобедреного трикутника.

Загрузка...

Дивіться також: