Рівняння площин і формула для кута між ними
Рівняння будь-якої площини у просторі в загальному вигляді записується так:
A × x + B × y + C × z + D = 0.
Тут x, y, z – це координати точок, що належать площині, коефіцієнти A, B, C, D – деякі відомі числа. Зручність цієї рівності для обчислення двогранних кутів полягає в тому, що воно в явному вигляді містить координати направляючого вектора площини. Будемо позначати його n. Тоді:
n = (A; B; C).
Вектор n перпендикулярний площині. Кут між двома площинами дорівнює куту між їх напрямними векторами n1 і n2. З математики відомо, що кут, утворений двома векторами, однозначно визначається з їх скалярного добутку. Це дозволяє записати формулу для обчислення двогранного кута між двома площинами:
φ = arccos (|(n1 × n2)| / (|n1| × |n2|)).
Якщо підставити координати векторів, то формула запишеться у явному вигляді:
φ = arccos (|A1 × A2 + B1 × B2 + C1 × C2| / (√(A12 + B12 + C12) × √(A22 + B22 + C22))).
Знак модуля в чисельнику використовується, щоб визначити тільки гострий кут, оскільки двогранний кут завжди менше або дорівнює 90o.
