В математиці будь-яка організована певним чином сукупність чисел, які слідують один за одним, називається послідовністю. З усіх існуючих послідовностей чисел виділяють два цікавих випадку: прогресії алгебраїчну і геометричну.
Що являє собою арифметична прогресія?
Відразу слід сказати, що алгебраїчну прогресію часто називають арифметичним, оскільки її властивості вивчає гілка математики – арифметика.
Ця прогресія являє собою таку послідовність чисел, в якій кожен наступний її член відрізняється від попереднього на деяке постійне число. Воно називається алгебраїчною різницею прогресії. Для визначеності позначимо його латинською літерою d.
Прикладом такої послідовності може бути наступна: 3, 5, 7, 9, 11 …, тут видно, що число 5 більше числа 3 на 2, 7 більше 5 теж на 2, і так далі. Таким чином, у представленому прикладі d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Які бувають арифметичні прогресії?
Характер цих упорядкованих послідовностей чисел багато в чому визначається знаком числа d. Виділяють наступні види алгебраїчних прогресій:
- зростаюча, коли d позитивне (d>0);
- постійна, коли d = 0;
- щербатий, коли d негативне (d<0).
У прикладі, який наведено в попередньому пункті, показана зростаюча прогресія. Прикладом спадної є наступна послідовність чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 … Постійна прогресія, як випливає з її визначення, являє собою сукупність однакових чисел.
n-й член прогресії
Завдяки тому, що кожне наступне число в розглянутій прогресії відрізняється на константу d від попереднього, можна легко визначити n-й її член. Для цього потрібно знати не тільки d, але і a1 – перший член прогресії. Застосовуючи рекурсивний підхід, можна отримати формулу алгебраїчної прогресії для знаходження n-го члена. Вона має вигляд: an = a1 + (n-1)*d. Це формула є досить простою, і зрозуміти її можна на інтуїтивному рівні.
Також не представляє ніякої складності її використання. Наприклад, у прогресії, яка наведена вище (d=2, a1=3), визначимо 35-й її член. Згідно з формулою, він буде дорівнює: a35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Формула для суми
Коли дана деяка арифметична прогресія, то сума перших n членів є часто виникає завданням, поряд з визначенням значення n-го члена. Формула суми алгебраїчної прогресії записується в наступному вигляді: ∑n1 = n*(a1+an)/2, тут значок ∑n1 говорить про те, що підсумовуються з 1-го по n-й член.
Наведене вираз можна отримати, вдаючись до властивостям все тієї ж рекурсії, однак існує більш легкий спосіб докази його справедливості. Запишемо перші 2 і останні 2 члена цієї суми, висловивши їх в числах a1, an і d, і отримаємо: a1, a1+d,…,and, an. Тепер зауважимо, що якщо скласти перший член з останнім, то він буде точно дорівнює сумі другого і передостаннього члена, тобто a1+an. Аналогічним способом можна показати, що цю ж суму можна отримати, якщо додати третій і предпредпоследний члени, і так далі. У випадку парного кількості чисел в послідовності отримуємо n/2 сум, кожна з яких дорівнює a1+an. Тобто отримуємо вищенаведену формулу алгебраїчної прогресії для суми: ∑n1 = n*(a1+an)/2.
Для непарної кількості членів n виходить аналогічна формула, якщо слідувати наведеним міркуванням. Тільки треба не забути додати решту доданок, яке знаходиться в центрі прогресії.
Покажемо, як користуватися наведеною формулою на прикладі простій прогресії, яка була введена вище (3, 5, 7, 9, 11 …). Наприклад, необхідно визначити суму перших 15 її членів. Для початку визначимо a15. Скориставшись формулою для n-го члена (див. попередній пункт), отримуємо: a15 = a1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Тепер можна застосувати формулу суми алгебраїчної прогресії: ∑151 = 15*(3+31 )/2 = 255.
Цікаво навести цікавий історичний факт. Формулу для суми арифметичної прогресії вперше отримав Карл Гаусс (знаменитий німецький математик XVIII століття). Коли йому було всього 10 років, то вчитель поставив завдання, знайти суму чисел від 1 до 100. Кажуть, що малий Гаусс вирішив цю задачу за кілька секунд, помітивши, що попарно підсумовуючи числа з початку і кінця послідовності, завжди можна отримати 101, а оскільки таких сум 50, то він швидко видав відповідь: 50*101 = 5050.
Приклад розв’язання задачі
В якості завершення теми алгебраїчної прогресії наведемо приклад вирішення ще однієї цікавої задачі, закріпивши тим самим розуміння розглянутої теми. Нехай дана деяка прогресія, для якої відома різниця d = -3, а також її 35-й член a35 = -114. Необхідно знайти 7-й член прогресії a7.
Як видно з умов задачі, значення a1 є невідомим, тому безпосередньо формулою n-го члена скористатися не вийде. Також є незручним спосіб рекурсії, який в ручну важко реалізувати, і велика ймовірність допустити помилку. Поступимо таким чином: випишемо формули для a7 і a35, маємо: a7 = a1 + 6*d і a35 = a1 + 34*d. Віднімемо з першого виразу друге, отримаємо: a7 – a35 = a1 + 6*d – a1 – 34*d. Звідки випливає: a7 = a35 – 28*d. Залишилося підставити відомі дані з умови задачі і записати відповідь: a7 = -114 – 28*(-3) = -30.
Геометрична прогресія
Щоб розкрити тему статті повніше, наведемо короткий опис ще одного виду прогресії – геометричної. У математиці під цією назвою розуміють послідовність чисел, в якій кожний наступний член відрізняється від попереднього на деякий множник. Позначимо цей множник буквою r. Він називається знаменником розглянутого виду прогресії. Прикладом цієї послідовності чисел може бути наступна: 1, 5, 25, 125, …
Як видно з наведеного визначення, алгебраїчна і геометрична прогресії схожі за своєю ідеєю. Відмінність між ними полягає в тому, що перша змінюється повільніше, ніж друга.
Геометрична прогресія також може бути зростаючою, постійної і спадною. Тип залежить від значення знаменника r: якщо r>1, то має місце зростаюча прогресія, якщо r<1 – щербатий, нарешті, якщо r = 1 – постійна, яка в цьому випадку може також називатися постійної арифметичною прогресією.
Формули геометричної прогресії
Як і у випадку алгебраїчної формули геометричної прогресії зводяться до визначення її n-го члена і суми n доданків. Нижче наведені ці вирази:
- an = a1*r(n-1) – ця формула випливає з визначення геометричної прогресії.
- ∑n1 = a1*(rn-1)/(r-1). Важливо відзначити, якщо r = 1, то наведена формула дає невизначеність, тому їй користуватися не можна. В цьому випадку сума n членів буде дорівнює простому добутку a1*n.
Наприклад, знайдемо суму всього 10 членів послідовності 1, 5, 25, 125, … Знаючи, що a1 = 1 і r = 5, отримуємо: ∑101 = 1*(510-1)/4 = 2441406. Отримане значення є наочним прикладом того, наскільки швидко зростає геометрична прогресія.
Мабуть, першою згадкою про цю прогресії в історії є легенда з шахівницею, коли один одного султана, навчивши його грі в шахи, попросив за свою послугу зерно. Причому кількість зерна повинно було бути наступним: на першу клітку шахівниці необхідно покласти одне зерно, на другу в два рази більше, ніж на першу, третю в 2 рази більше, ніж на другу і так далі. Султан охоче погодився виконати це прохання, але він не знав, що йому доведеться спустошити всі засіки своєї країни, щоб стримати дане слово.
