У математиці існує поняття “множина”, так само як і існують приклади зіставлення цих множин між собою. Назвами видів зіставлення множин виступають такі слова: биекция, ін’єкція, сюръекция. Нижче про кожного з них розказано докладніше.
Биекция – це… це що?
Одна група елементів першого безлічі зіставляється з другою групою елементів з другої множини в такому вигляді: кожний елемент першої групи безпосередньо зіставляється з іншим одним елементом з другої групи, і при цьому не виникає ситуації з нестачею або перебором елементів будь-якої з двох груп множин.
Формулювання основних властивостей:
- Один елемент до одного.
- Не залишається зайвих елементів при зіставленні і зберігається перша властивість.
- Можливо зворотне відображення зіставлення із збереженням загального виду.
- Биекция – це така функція, що є одночасно инъективной і сюръективной.
Биекция з наукової сторони
Биективные функції – саме изоморфизмы в категорії “набір і функцій”. Однак биекции не завжди изоморфизмы для більш складних категорій. Наприклад, у певної категорії груп морфизмы повинні бути гомоморфизмами, оскільки вони повинні зберігати структуру групи. Тому изоморфизмы є груповими, які є биективными гомоморфизмами.
Поняття “взаємно-однозначна відповідність” узагальнюється на часткові функції, де їх називають частковими биекциями, хоча часткова биекция – це те, що повинно бути ін’єкцією. Причина цієї релаксації полягає в тому, що часткова (правильне) функція вже не визначена для частини своєї області. Таким чином, немає вагомих підстав обмежувати її зворотну функцію повною, тобто певної всюди в її області. Безліч всіх часткових биекций на даний базовий набір називається симетричною інверсної полугруппой.
Інший спосіб визначення одного і того ж поняття: варто сказати, що часткова биекция множин з A в B – це будь-яке відношення R (часткова функція) з тим властивістю, що R – це графа биекции f:А’→B’, де А’ є підмножиною A і B’ є підмножиною Ст.
Коли часткова биекция знаходиться на одному і тому ж безлічі, її іноді називають частковим перетворенням “один до одного”. Прикладом є перетворення Мебіуса, просто певне на комплексній площині, а не його завершення в розширену комплексну площину.
Ін’єкція
Одна група елементів першого безлічі зіставляється з другою групою елементів з другої множини в такому вигляді: кожний елемент першої групи зіставляється з іншим одним елементом другий, але не всі з них перетворюються в пари. Кількість неспарених елементів залежить від різниці числа цих елементів у кожній з множин: якщо множина складається з тридцяти одного елемента, а в іншому на сім більше, то кількість неспарених елементів – сім. Спрямована ін’єкція в безліч. Биекция і ін’єкція схожі між собою, але не більш ніж просто схожі.
Сюръекция
Одна група елементів першого безлічі зіставляється з другою групою елементів з другої множини в такому вигляді: кожен елемент якої-небудь групи утворює пару, навіть за умови існування різниці між кількістю елементів. З цього випливає, що один елемент з однієї групи може створити пару з кількома елементами з іншої групи.
Ні биективная, ні инъективная, ні сюръективная функція
Це функція биективного і сюръективного виду, але з залишковим елементом (неспареним) => ін’єкція. У такій функції явно присутній зв’язок між биекцией і сюръекцией, так як вона безпосередньо включає в себе дані два види співставлення множин. Так от, сукупність всіх видів даних функцій не є жодним з них окремо.
Пояснення всіх видів функцій
Наприклад, спостерігач захоплений наступним. Проходять змагання зі стрільби з лука. Кожен з учасників бажає потрапити в мішень (в цілях полегшення завдання: те, куди саме потрапляє стріла, не враховується). Всього троє учасників і три мішені – це перший майданчик (ділянка) для проведення турніру. На наступних ділянках зберігається кількість лучників, але змінюється кількість мішеней: на другому – чотири мішені, на наступному – теж чотири, а на четвертому – п’ять. Кожен учасник стріляє по кожній мішені.
- Перша майданчик для проведення турніру. Перший лучник потрапляє тільки в одну мішень. Другий потрапляє тільки в одну мішень. Третій повторює за іншими, і все лучники потрапили в різні мішені: ті, які розташовуються навпроти них. У підсумку 1 (перший лучник) потрапив у мішень (а), 2 – в (б), 3 – в (у). Спостерігається наступна залежність: 1 – (а), 2 – (б), 3 – (в). Висновком буде судження про те, що таке зіставлення множин – це биекция.
- Друга майданчик для проведення турніру. Перший лучник потрапляє тільки в одну мішень. Другий також потрапляє тільки в одну мішень. Третій особливо не намагається і повторює все за іншими, але умова той же – все лучники потрапили в різні мішені. Але, як було сказано раніше, на другому майданчику вже чотири мішені. Залежність: 1 – (а), 2 – (б), 3 – (в), (г) – неспарений елемент множини. У цьому випадку висновком буде судження про те, що таке зіставлення множин – це ін’єкція.
- Третій майданчик для проведення турніру. Перший лучник потрапляє тільки в одну мішень. Другий знову потрапляє тільки в одну мішень. Третій вирішує взяти себе в руки і вражає третю і четверту мішені. У підсумку залежність: 1 – (а), 2 – (б), 3 – (в), 3 (м). Тут же висновком буде судження про те, що таке зіставлення множин – це сюръекция.
- Четверта майданчик для проведення турніру. З першим все зрозуміло, він вражає тільки одну мішень, в якої скоро не залишиться місця для вже обридлих влучень. Тепер другий бере на себе роль ще недавнього третього і знову потрапляє тільки в одну мішень, повторюючи за першим. Третій продовжує тримати себе в руках і не припиняє знайомити свою стрілу з третьої і четвертої мішенню. П’ята, правда, йому все ж виявилася непідвладна. Так, залежність: 1 – (а), 2 – (б), 3 – (в), 3 – (г), (д) – неспарений елемент множини мішеней. Висновок: таке зіставлення множин – це не сюръекция, не ін’єкція і не биекция.
Тепер побудувати биекцию, ін’єкцію або сюръекцию не стане проблемою, так само як і знайти відмінності між ними.
