Знання кутів між площинами і прямими необхідно при вивченні властивостей об’ємних фігур, наприклад пірамід або призм. Обчислити цей кут не складно. Достатньо знати рівняння прямої та площини і відповідну формулу. Розглянемо питання знаходження зазначеного кута в статті.
Математичний опис прямої і площини
Обидва геометричних об’єкта, згаданих у назві пункту, описуються рівняннями різного типу. Тут ми не будемо приводити всі їх, а лише охарактеризуємо векторне рівняння прямої і загальне рівняння площини, оскільки саме ці типи рівностей зручно використовувати при розрахунку кута між прямою і площиною.
Рівняння в векторному вигляді для прямої у тривимірному просторі має наступну форму запису:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α * (a; b; c)
Перший доданок в дужках – це деяка відома точка, що належить прямій. Другий доданок – координати вектора, спрямованого вздовж прямої. Параметр α може приймати будь-які числові значення, завдяки чому обчислюються координати всіх точок цієї прямої.
Площина загальним рівнянням задається в такому вигляді:
A * x + B * y + C * z + D = 0
Великі латинські літери – це певні фіксовані числа. Перевага цієї форми запису по відношенню до інших типів виразів для площині полягає в тому, що з неї зручно знаходити координати вектора, перпендикулярного до цієї двовимірному об’єкту. Ці координати дорівнюють:
n(A; B; C)
Записаний вектор називається нормальним або напрямних для площини.
Зазначимо, що знання цього вектора дозволяє записати сімейство паралельних площин, які один від одного відрізняються вільним членом D. Щоб однозначно визначити площину, крім n, необхідно знати ще одну точку, яка їй належить.
Пряма і площина в просторі
Розрахунок кута між прямою і площиною можна проводити, якщо розуміти, які варіанти в принципі існують у взаємному розташуванні цих об’єктів. Цих варіантом всього три:
- пряма паралельна площині, але в ній не лежить;
- всі точки прямої також є точками площини;
- пряма з площиною перетинаються.
Перші два варіанти відповідають куті 0o між розглянутими геометричними об’єктами. У разі ж перетину кут відмінний від нуля, але він завжди менше або дорівнює прямому куту. Якщо при перетині площини і прямої в одній точці кут дорівнює 90 o, то їх вважають взаємно перпендикулярними.
На малюнку вище пряма та площина паралельні один одному, а на схемі нижче вони перетинаються.
Формула кута між прямою і площиною
Отримаємо формулу для розглянутої величини в загальному вигляді. Для цього запишемо ще раз представлені рівняння прямої та площини:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * y + C * z + D = 0
Припустимо для простоти висновку, що пряма перетинає площину. Згідно з визначенням, кутом між ними називається кут між цією прямою і її проекцією на площину. Для отримання проекції досить опустити перпендикуляр з довільної точки прямої на площину, а потім через отриману точку на площині і точку перетину провести пряму. Відповідний малюнок зображений нижче, де символом α відзначений шуканий кут.
На малюнку також зображено направляючий вектор прямої v і нормаль n, відзначений кут β між ними. З малюнка видно, що ці кути пов’язані один з одним виразом:
β + α = 90 o
Як знайти β, зможе відповісти будь-який школяр, який знайомий з властивостями скалярного добутку. Для цього достатньо обчислити його і поділити на твір модулів відповідних векторів, тобто:
cos(β) = |(n * v)| / (|n| * |v|)
Звертаємо увагу, що в чисельнику стоїть модуль твори. Це дозволяє знаходити тільки прямі кути перетину.
З тригонометричних формул відомо наступне рівність:
cos(β) = cos(90 o – α) = sin(α)
Тоді шуканий кут може бути обчислений за формулою:
α = arcsin(|(n * v)| / (|n| * |v|)
Якщо підставити координати векторів для записаної вище прямої і площини, то отримаємо кінцеву формулу:
α = arcsin(|(A * a + B * b + C * c)| / (√(A2 + B2 + C2) * √(a2 + b2 + c2))
Покажемо, як її використовувати при вирішенні завдань.
Площина та пряма і значення кута їх перетину
Необхідно знайти кут між прямою і площиною, заданих виразами:
(x; y; z) = (1; 1; 0) + λ * (2; -1; 3);
x + y – 2z + 1 = 0
Наведеною формулою для α зручно користуватися, якщо заздалегідь обчислити модулі векторів і їх скалярний добуток. Зробимо це:
n(1; 1; -2);
v(2; -1; 3);
(n * v) = ((1; 1; -2) * (2; -1; 3)) = -5;
|n| = √(1 + 1 + 4) = √6;
|v| = √(4 + 1 + 9) = √14
Тепер можна підставити знайдені значення у формулу для α:
α = arcsin(|-5| / (√6 * √14)) = 33,06 o
Таким чином, ми показали, що площина і пряма дійсно перетинаються, і кут між ними дорівнює приблизно 33o.
Перетин прямої координатних площин
Тепер розв’яжемо таку задачу. Дана пряма, що задається наступним чином:
(x; y; z) = (1 ; 0 ; 0 ) + λ * (2; 0; -1)
Необхідно знайти кути її перетину з трьома координатними площинами.
Для початку слід математично записати вирази для зазначених площин. Вони мають вигляд:
x = 0 (площину yz);
y = 0 (площина xz);
z = 0 (площина xy)
Для кожної з них запишемо координати нормального вектора:
n(1; 0; 0) x = 0;
n(0; 1; 0) для y = 0;
n(0; 0; 1) z = 0
Видно, що довжини всіх нормальних векторів дорівнюють одиниці. Знаходимо скалярні твори для кожного з них з напрямним вектором прямої:
для x = 0: ((2; 0; -1) * (1; 0; 0)) = 2;
для y = 0: ((2; 0; -1) * (0; 1; 0)) = 0;
для z = 0: ((2; 0; -1) * (0; 0; 1)) = -1
Модуль для направляючого вектора прямої дорівнює:
|(2; 0; -1)| = √5
Підставляємо розраховані значення у формулу, отримуємо кути перетину:
з x = 0: α = arcsin(|2| / √5) ≈ 63,4 o;
з y = 0: α = arcsin(|0| / √5) =0o;
з z = 0: α = arcsin(|-1| / √5) ≈ 26,6 o
Таким чином, задана пряма перетинає тільки площині yz і xy, а до площини xz вона є паралельною.
