Чотири основних лінійних параметра
Почнемо розгляд математичних властивостей правильної чотирикутної піраміди з формул висоти, довжини сторони підстави, бічного ребра і апофемы. Відразу скажемо, що всі ці величини пов’язані один з одним, тому досить знати тільки дві з них, щоб однозначно обчислити залишилися дві.
Припустимо, що відома висота h піраміди і довжина a сторони квадратного підстави, тоді бічне ребро b буде дорівнює:
b = √(a2 / 2 + h2)
Тепер наведемо формулу для довжини ab апофемы (висота трикутника, опущена на сторону основи):
ab = √(a2 / 4 + h2)
Очевидно, що бічне ребро b завжди більше апофемы ab.
Обидва вирази можна застосовувати для визначення всіх чотирьох лінійних характеристик, якщо відомі інші два параметри, наприклад ab і h.
Площа і об’єм фігури
Це ще два важливих властивості правильної чотирикутної піраміди . Підстава фігури має наступну площа:
So = a2
Цю формулу знає кожен школяр. Площа бічної поверхні, яка утворена чотирма однаковими трикутниками, можна визначити через апофему ab піраміди так:
Sb = 2 × a × ab
Якщо ab є невідомою, то можна визначити за формулами з попереднього пункту через висоту h або ребро b.
Загальна площа поверхні розглянутої фігури складається з площ So і Sb:
S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)
Розрахована площа всіх граней піраміди показана на малюнку нижче у вигляді її розгортки.
Опис властивостей правильної чотирикутної піраміди не буде повним, якщо не розглянути формулу для визначення її обсягу. Ця величина для даної піраміди обчислюється наступним чином:
V = 1/3 × h × a2
Тобто V дорівнює третьої частини твору висоти фігури на площа її підстави.
