Перевірка формули Штейнера на прикладі стрижня
Наведемо простий приклад, на якому продемонструємо, як користуватися розглянутої теоремою.
Відомо, що для стрижня довжиною L і масою m момент інерції IO (вісь проходить через центр мас) дорівнює m*L2/12, а момент IZ (вісь проходить через кінець стрижня) дорівнює m*L2/3. Перевіримо ці дані, скориставшись теоремою Штейнера. Оскільки відстань між двома осями дорівнює L/2, тоді отримуємо момент IZ:
IZ = IO + m*(L/2)2 = m*L2/12 + m*L2/4 = 4*m*L2/12 = m*L2/3
Тобто ми перевірили формулу Штейнера і отримали таке ж значення для IZ, що і в джерелі.
Аналогічні обчислення можна проводити і для інших тіл (циліндра, кулі, диска), отримуючи при цьому необхідні моменти інерції, і не виконуючи інтегрування.
Момент інерції і перпендикулярні осі
Розглянута теорема стосується паралельних осей. Для повноти інформації корисно також привести теорему для перпендикулярних осей. Вона формулюється так: для плоского об’єкта довільної форми момент інерції щодо перпендикулярній йому осі дорівнює сумі двох моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних і лежать в площині об’єкта осей, при цьому всі три осі повинні проходити через одну точку. Математично це записується так:
Iz = Ix + Iy
Тут z, x, y – три взаємно перпендикулярні осі обертання.
Істотна відмінність цієї теореми від теореми Штейнера полягає в тому, що вона застосовна лише до плоским (двовимірним) твердим об’єктів. Тим не менше на практиці її досить широко використовують, подумки розрізаючи тіло на окремі шари, а потім, складаючи отримані моменти інерції.
