П’ятикутна призма при рішенні задач з геометрії зустрічається набагато рідше, ніж такі призми, як трикутна, чотирикутна або шестикутна. Тим не менш корисно розглянути основні властивості цієї фігури, а також дізнатися, як її можна намалювати.
Що собою являє п’ятикутна призма?
Мова йде про об’ємної фігури, заснування якої є пятиугольниками, а бічні сторони – параллелограммами. Якщо кожен з цих паралелограмів буде перпендикулярний паралельним підстав, то така призма називається прямокутною. Бічна поверхня прямокутної п’ятикутної призми складена з п’яти прямокутників. Причому прилегла до основи сторона кожного з них дорівнює відповідній довжині сторони п’ятикутника.
Якщо п’ятикутник буде правильним, тобто всі його сторони і кути будуть дорівнювати один одному, тоді така прямокутна призма називається правильною. Далі в статті будемо розглядати властивості саме цієї фігури.
Елементи призми
Для неї, як і для будь-якої призми, характерні такі елементи:
- межі або сторони – це частини площин, що обмежують фігуру в просторі;
- вершини – точки перетину трьох сторін;
- ребра – відрізки перетину двох сторін фігури.
Числа всіх названих елементів пов’язані між собою таким рівнянням:
Число ребер = кількість вершин + число граней – 2
Це вираз носить назву формули Ейлера для полиэдра.
У п’ятикутної призми кількість сторін дорівнює семи (дві підстави + п’ять прямокутників). Число вершин становить 10 (по п’ять для кожного підстави). Число ребер в такому випадку буде дорівнює:
Число ребер = 10 + 7 – 2 = 15
Десять ребер належать основами призми, а п’ять ребер утворені прямокутниками.
Як накреслити п’ятикутну призму?
Відповідь на це питання залежить від конкретної задачі. Якщо необхідно накреслити довільну призму, тоді слід зобразити будь-п’ятикутник. Після цього провести п’ять паралельних відрізків рівної довжини з кожної вершини п’ятикутника. Потім, з’єднати верхні кінці відрізків. Вийшла п’ятикутна довільна призма.
Якщо ж слід накреслити правильну призму, тоді вся складність завдання зводиться до отримання правильного п’ятикутника. Існує кілька способів накреслити цей багатокутник. Тут ми розглянемо тільки два способи.
Перший спосіб полягає в побудову кола за допомогою циркуля. Потім проводиться довільний діаметр окружності і від нього відраховується з допомогою транспортира п’ять кутів по 72 o (5*72 o = 360o). При відліку кожного кута робиться насічка на окружності. Для побудови прямокутника залишається з’єднати прямими відрізками зазначені насічки.
Другий спосіб припускає використання тільки циркуля і лінійки. Він є дещо складнішим у порівнянні з попереднім. Нижче наводиться відео, де детально пояснюється кожен крок такого побудови.
Зауважимо, що п’ятикутник легко намалювати, якщо з’єднати кінці зірки. Якщо немає необхідності креслити точно правильний п’ятикутник, тоді можна використовувати спосіб із зіркою, намальованими від руки.
Як тільки п’ятикутник зображено, слід з кожної його вершини провести п’ять однакових паралельних відрізків і з’єднати їх вершини. Вийде п’ятикутна призма.
Площа фігури
Тепер розглянемо питання, як знайти площу п’ятикутної призми. На малюнку нижче наведена її розгортка. Видно, що шукана площа утворена двома однаковими пятиугольниками і п’ятьма рівними один одному прямокутниками.
Площа всієї поверхні фігури виразиться формулою:
S = 2*So + 5*Sp
Тут індекси o і p означають основу і прямокутник відповідно. Позначимо довжину сторони п’ятикутника як a, а висоту фігури як h. Тоді для прямокутника запишемо:
Sp = a*h
Щоб обчислити площу п’ятикутника, скористаємося універсальною формулою:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
Де n – число сторін багатокутника. Підставляючи n = 5, отримуємо:
S5 = 5/4*a2*ctg(pi/5) ≈ 1,72*a2
Точність отриманого рівності становить 3 знаки після коми, що цілком достатньо для вирішення будь-яких завдань.
Тепер залишається знайти суму отриманих площ основи і бічної поверхні. Маємо:
S = 2*1,72*a2 + 5*a*h = 3,44*a2 + 5*a*h
Слід пам’ятати, що одержана формула справедлива лише для прямокутної призми. У випадку з косокутною фігурою площа її бічній поверхні знаходять, виходячи зі знання периметра зрізу, який повинен бути перпендикулярний всім параллелограммам.
Обсяг фігури
Формула розрахунку обсягу п’ятикутної призми нічим не відрізняється від аналогічного вирази для будь-якої іншої призми або циліндра. Обсяг фігури дорівнює добутку її висоти на площу основи:
V = So*h
Якщо розглянута призма є прямокутною, тоді висота в ній є довжиною ребра, утвореного прямими. Площа правильного п’ятикутника була обчислена вище з високою точністю. Підставимо це значення у формулу для об’єму і отримаємо потрібний вираз для п’ятикутної призми:
V = 1,72*a2*h
Таким чином, обчислення об’єму та площі поверхні п’ятикутної призми можливо, якщо відома сторона підстави і висота фігури.
