При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких відносяться прогресії -геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію і приклади з рішеннями.
Що собою являє арифметична прогресія?
Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення розглянутої прогресії, а також привести основні формули, які надалі будуть використані при вирішенні завдань.
Арифметична або алгебраїчна прогресія – це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на деяку постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел і різниця, можна відновити всю арифметичну прогресію.
Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, …, оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 – 4 = 12 – 8 = 16 – 12). А ось набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до даного виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 – 3 ≠ 8 – 5 ≠ 12 – 8 ≠ 17 – 12).
Важливі формули
Наведемо тепер основні формули, які знадобляться для вирішення задач з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом an n-й член послідовності, де n – ціле число. Різниця позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:
- Для визначення значення n-го члена підійде формула: an = (n-1)*d+a1.
- Для визначення суми перших n доданків: Sn = (an+a1)*n/2.
Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, досить запам’ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які задачі розглянутого типу. Також слід не забувати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = an – an-1.
Далі, в статті наводяться різні приклади застосування цих виразів.
Приклад №1: знаходження невідомого члена
Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.
Нехай задано послідовність 10, 8, 6, 4, …, необхідно в ній знайти п’ять членів.
З умови завдання слід, що перші 4 доданків відомі. П’яте можна визначити двома способами:
- Обчислимо для початку різниця. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члена, що стоять поруч один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = an – an-1, тоді d = a5 – a4, звідки отримуємо: a5 = a4 + d. Підставляємо відомі значення: a5 = 4 + (-2) = 2.
- Другий спосіб також вимагає знання різниці розглянутої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a1 = 10, скористаємося формулою для n числа послідовності. Маємо: an = (n – 1) * d + a1 = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2*n. Підставляючи в останній вираз n = 5, отримуємо: a5 = 12-2 * 5 = 2.
Як видно, обидва способи рішення призвели до одного і того ж результату. Зазначимо, що в цьому прикладі різниця d прогресії є від’ємною величиною. Такі послідовності називаються зменшувальними, так як кожен наступний член не менше попереднього.
Приклад №2: різниця прогресії
Тепер трохи ускладнимо завдання, наведемо приклад, як знайти різницю арифметичної прогресії.
Відомо, що в деякій прогресії алгебраїчної 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.
Скористаємося формулою для визначення невідомого члена: an = (n – 1) * d + a1. Підставимо у неї відомі дані з умови, тобто числа a1 і a7, маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 – 6) /6 = 2. Таким чином, відповіли на першу частину завдання.
Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням алгебраїчної прогресії, тобто a2 = a1 + d, a3 = a2 + d і так далі. У підсумку відновлюємо всю послідовність: a1 = 6, a2 = 6 + 2=8, a3 = 8 + 2 = 10, a4 = 10 + 2 = 12, a5 = 12 + 2 = 14, a6 = 14 + 2 = 16, a7 = 18.
Приклад №3: складання прогресії
Ускладнимо ще сильніше умову задачі. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна привести наступний приклад: дано два числа, наприклад, 4 і 5. Необхідно скласти прогресію алгебраїчну так, щоб між цими містилося ще три члени.
Перш ніж починати вирішувати цю задачу, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа майбутньої прогресії. Оскільки між ними будуть знаходитися ще три члени, тоді a1 = -4 і a5 = 5. Встановивши це, переходимо до задачі, яка аналогічна попередньої. Знову для n-го члена скористаємося формулою, одержимо: a5 = a1 + 4 * d. Звідки: d = (a5 – a1)/4 = (5 – (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, тому формули для алгебраїчної прогресії залишаються тими ж самими.
Тепер додамо знайдену різницю до a1 і відновимо відсутні члени прогресії. Отримуємо: a1 = – 4, a2 = – 4 + 2,25 = – 1,75, a3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a5 = 2,75 + 2,25 = 5, що співпало з умовою задачі.
Приклад №4: перший член прогресії
Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії з рішенням. У всіх попередніх завданнях було відомо перше число алгебраїчної прогресії. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дано два числа, де a15 = 50 і a43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.
Формули, якими користувалися до цього часу, передбачають знання a1 і d. В умові задачі про цих числах нічого невідомо. Тим не менш випишемо вирази для кожного члена, про яку є інформація: a15 = a1 + 14 * d і a43 = a1 + 42 * d. Отримали два рівняння, в яких 2 невідомі величини (a1 і d). Це означає, що задача зводиться до розв’язання системи лінійних рівнянь.
Зазначену систему найпростіше вирішити, якщо виразити в кожному рівнянні a1, а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a1 = a15 – 14 * d = 50 – 14 * d; друге рівняння: a1 = a43 – 42 * d = 37 – 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 – 14 * d = 37 – 42 * d, звідки різниця d = (37 – 50) / (42 – 14) = – 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).
Знаючи d, можна скористатися будь-яким з 2 наведених вище виразів для a1. Наприклад, першим: a1 = 50 – 14 * d = 50 – 14 * (- 0,464) = 56,496.
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити 43 член прогресії, який задано в умові. Отримаємо: a43 = a1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов’язана з тим, що при обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.
Приклад №5: сума
Тепер розглянемо кілька прикладів з рішеннями на суму арифметичної прогресії.
Нехай дана числова прогресія наступного виду: 1, 2, 3, 4, …,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?
Завдяки розвитку комп’ютерних технологій можна вирішити цю задачку, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як тільки людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в розумі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є прогресією алгебраїчної, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: Sn = n * (a1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Цікаво відзначити, що ця задача має назву “гауссових”, оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький математик Гаусс, ще будучи у віці 10 років, зміг вирішити її в розумі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він зауважив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то завжди виходить один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …, а оскільки цих сум буде рівно 50 (100 / 2), то для отримання правильної відповіді досить помножити на 50 101.
Приклад №6: сума членів від n до m
Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий ряд чисел: 3, 7, 11, 15, …, потрібно знайти, чому дорівнює сума його членів з 8 по 14.
Завдання вирішується двома способами. Перший з них передбачає знаходження невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків трохи, то такий спосіб не є досить трудомістким. Тим не менш пропонується вирішити цю задачу другим методом, який є більш універсальним.
Ідея полягає в отриманні формули для суми алгебраїчної прогресії між членами m і n, де n > m – цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:
- Sm = m * (am + a1) / 2.
- Sn = n * (an + a1) / 2.
Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає в себе першу. Останнє міркування означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член am (у разі взяття різниці він вираховується із суми Sn), то отримаємо необхідний відповідь на завдання. Маємо: Smn = Sn – Sm + am =n * (a1 + an) / 2 – m *(a1 + am)/2 + am = a1 * (n – m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 – m/2). В цей вираз необхідно підставити формули для an am. Тоді отримаємо: Smn = a1 * (n – m) / 2 + n * (a1 + (n – 1) * d) / 2 + (a1 + (m – 1) * d) * (1 – m / 2) = a1 * (n – m + 1) + d * n * (n – 1) / 2 + d *(3 * m – m2 – 2) / 2.
Отримана формула є дещо громіздкою, тим не менш сума Smn залежить тільки від n, m, a1 і d. У нашому випадку a1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа, отримаємо: Smn = 301.
Деякі поради при вирішенні завдань з арифметичною прогресією
Як видно з наведених рішень, всі задачі грунтуються на знанні вирази для n-го члена і формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якої з цих задач рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і лише потім приступати до виконання.
Ще одна порада полягає в прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно діяти саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність допустити помилку менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулою Smn = n * (a1 + an) / 2 – m * (a1 + am) / 2 + am, і розбити загальну задачу на окремі підзадачі (в даному випадку спочатку знайти члени an am).
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується його перевіряти, як це було зроблено в деяких прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з’ясували. Якщо розібратися, то це не так складно.
