Багато чули про арифметичної прогресії, але не всі добре уявляють, що це таке. У цій статті дамо відповідне визначення, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичної прогресії, і наведемо ряд прикладів.
Математичне визначення
Отже, якщо мова йде про арифметичної прогресії або алгебраїчної (ці поняття визначають одне і те ж), то це означає, що є певний числовий ряд, що задовольняє наступним законом: кожні два сусідніх числа в ряду відрізняються на одне і те ж значення. Математично це записується так:
an + 1-an = d
Тут n-номер елемента an у послідовності, а число d – це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).
Про що говорить знання різниці d? Про те, як далеко один від одного відстоять сусідні числа. Однак знання d є необхідною, але не достатньою умовою для визначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент розглянутого ряду, наприклад, a4, a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a1.
Формули для визначення елементів прогресії
Загалом, інформації вище вже достатньо, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Тим не менш до того, як буде дана арифметична прогресія, і знайти різниця її буде необхідно, наведемо кілька корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.
Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений наступним чином:
an = a1 + (n – 1) * d
Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n = 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n = 2, тоді вираз видає суму першого числа і різниці, і так далі.
Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парі чисел, номери яких в послідовності також дані, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю і перший елемент). Зараз ми вирішимо цю задачу в загальному вигляді.
Отже, нехай дано два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою вище формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:
an = a1 + (n – 1) * d;
am = a1 + (m – 1) * d
Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомом вирішення такої системи: віднімемо попарно ліву і праву частини, рівність при цьому залишиться справедливим. Маємо:
an = a1 + (n – 1) * d;
an – am = (n – 1) * d – (m – 1) * d = d * (n – m)
Таким чином, ми виключили одну невідому (a1). Тепер можна записати остаточний вираз для визначення d:
d = (an – am) / (n – m), де n > m
Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d згідно з умовами задачі, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів і їх порядкових номерів. Слід звернути увагу на один важливий момент увагу: різниці беруться між “старших” і “молодших” членами, тобто n > m (“старший” – мається на увазі стоїть далі від початку послідовності, його абсолютне значення може бути як більше, так і менше “молодшого” елемента).
Вираз для різниці d прогресії слід підставити в будь-яке з рівнянь на початку рішення завдання, щоб отримати значення першого члена.
Далі в статті наведемо приклади вирішення задач на обчислення d і на відновлення числового ряду алгебраїчної прогресії. Тут же хотілося б відзначити один важливий момент.
У наше століття розвитку комп’ютерних технологій багато школярі намагаються знайти рішення своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають питання такого типу: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члена прогресії, так і сума деякого їх числа) і моментально отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним в плані розвитку школяра і розуміння суті поставленого перед ним завдання.
Рекомендується за вказаними причин самостійно вирішувати подібні завдання. Крім того, вони не є складними.
Рішення без використання формул
Вирішимо першу задачу, при цьому не будемо використовувати жодні з наведених формул. Нехай дано елементи ряду: а6 = 3, а9 = 18. Знайти різницю арифметичної прогресії.
Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів треба додати різницю d найменшого, щоб отримати найбільшу з них? Три рази (перший раз додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз – восьмий, нарешті, третій раз – дев’ятий). Яке число треба додати до трьох три рази, щоб отримати 18? Це число п’ять. Дійсно:
3 + 5 + 5 + 5 = 18
Таким чином, невідома різниця d = 5.
Звичайно ж, рішення можна було виконати з застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Докладне пояснення розв’язання задачі повинно стати зрозумілим і яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія.
Завдання, подібна попередньої
Тепер вирішимо подібну задачу, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а3 = 2, а9 = 19.
Звичайно, можна вдатися до методу рішення “в лоб”. Але оскільки дані елементи ряду, які коштують відносно далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:
d = (а9 – а3) / (9 – 3) = (19 – 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення призвело до помилки, можна судити, перевіривши отриманий результат:
a9 = a3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Цей результат відрізняється всього на 0,1 % від значення, даного в умові. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.
Задачі на застосування формули для an члена
Розглянемо класичний приклад завдання на визначення невідомої d: знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 12, а5 = 40.
Коли дано два числа невідомої алгебраїчної послідовності, причому одним з них є елемент a1, тоді не потрібно довго думати, а треба відразу ж застосувати формулу для an члена. В даному випадку маємо:
a5 = a1 + d * (5 – 1) => d = (a5 – a1) / 4 = (40 – 12) / 4 = 7
Ми отримали точне число при діленні, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.
Вирішимо ще одну аналогічну задачу: знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 16, а8 = 37.
Використовуємо аналогічний попередньому підхід і отримуємо:
a8 = a1 + d * (8 – 1) => d = (a8 – a1) / 7 = (37 – 16) / 7 = 3
Що ще варто знати про арифметичної прогресії
Крім завдань на знаходження невідомої різниці або окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за рамки теми статті, тим не менш для повноти інформації наведемо загальну формулу для суми n чисел ряду:
∑ni = 1(ai) = n * (a1 + an) / 2
