При розв’язанні задач на рух тіл в просторі часто використовують формули збереження кінетичної енергії і імпульсу. Виявляється, що аналогічні вирази існують і для обертових тел. У цій статті докладно розглядається закон збереження моменту імпульсу (формули відповідні також наводяться) і дається приклад розв’язання задачі.
Процес обертання і момент імпульсу
Перед тим як перейти до розгляду формули закону збереження моменту імпульсу, необхідно познайомитися з цим фізичним поняттям. Найпростіше його можна ввести, якщо скористатися малюнком нижче.
На малюнку видно, що на кінець вектора r, спрямованого від осі обертання і перпендикулярного їй, є деяка матеріальна точка масою m. Ця точка рухається по колу названого радіуса з лінійною швидкістю v. З фізики відомо, що добуток маси на лінійну швидкість називається імпульсом (p). Тепер варто ввести нову величину:
L = r*m*v = r*p.
Тут векторна величина L являє собою момент імпульсу. Щоб перейти до скалярної формі запису, що необхідно знати модулі відповідних значень r і p, а також кут θ між ними. Скалярна формула для L має вигляд:
L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).
На малюнку вище кут θ є прямим, тому можна просто записати:
L = r*m*v = r*p.
Із записаних виразів випливає, що одиницею вимірювання L будуть кг*м2/с.
Напрямок вектора моменту імпульсу
Оскільки розглянута величина є вектором (результат векторного добутку), то вона буде мати певний напрямок. Властивості добутку двох векторів випливає, що їх результат дасть третій вектор, перпендикулярний площині, утвореної першими двома. При цьому спрямований він буде таким чином, що якщо дивитися з його кінця, то тіло буде обертатися проти годинникової стрілки.
Результат застосування цього правила показаний на малюнку в попередньому пункті. З нього видно, що L спрямований вгору, оскільки, якщо дивитися на тіло зверху, його рух буде відбуватися проти ходу стрілки годинника. При вирішенні завдань важливо враховувати напрям під час переходу до скалярної формі запису. Так, розглянутий момент імпульсу вважається позитивним. Якщо б тіло оберталося за годинниковою стрілкою, тоді в скалярної перед формулою L слід було б поставити знак мінуса (-L).
Аналогія з лінійним імпульсом
Розглядаючи тему моменту імпульсу та закону збереження, можна зробити один математичний трюк – перетворити вираз для L, помножившпи і поділивши його на r2. Тоді вийде:
L = r*m*v*r2/r2 = m*r2*v/r.
У цьому виразі відношення швидкості до радіусу обертання називається кутовою швидкістю. Вона зазвичай позначається буквою грецького алфавіту ω. Ця величина показує, на скільки градусів (радіан) зробить поворот тіло по орбіті свого обертання за одиницю часу. У свою чергу, добуток маси на квадрат радіуса – це теж фізична величина, що має власну назву. Позначають її I і називають моментом інерції.
У результаті формула для моменту імпульсу перетворюється в наступну форму запису:
L = I *ω, де ω= v/r і I=m*r2.
Вираз демонструє, що напрямок моменту імпульсу L і кутової швидкості ω збігаються для системи, що складається з обертової матеріальної точки. Особливий інтерес представляє величина I. Нижче вона розглянуто детальніше.
Момент інерції тіла
Введена величина I характеризує “опірність” тіла будь-якій зміні швидкості його обертання. Тобто вона грає таку ж роль, що і інерція тіла при лінійному переміщенні об’єкта. По суті I для кругового руху з фізичної точки зору означає те ж саме, що і маса при лінійному русі.
Як було показано, для матеріальної точки з масою m, що обертається навколо осі на відстані від неї r, момент інерції розрахувати просто (I = m*r2), проте для будь-яких інших тіл цей розрахунок буде дещо складним, оскільки передбачає використання інтеграла.
Для тіла довільної форми I можна визначити за допомогою наступного виразу:
I = ∫m(r2*dm) = ∫V(r2*ρ*dV), де ρ – щільність матеріалу.
Вирази вище означають, що для обчислення моменту інерції слід розбити все тіло на нескінченно малі обсяги dV, помножити їх на квадрат відстані до осі обертання і на щільність і підсумувати.
Для тіл різної форми ця задача вирішена. Нижче наводяться дані для деяких з них.
Матеріальна точка: I = m*r2.
Диск або циліндр: I = 1/2*m*r2.
Стрижень довжиною l, закріплений за центром: I = 1/12*m*l2.
Куля: I = 2/5*m*r2.
Момент інерції залежить від розподіленої маси тіла відносно осі обертання: чим далі від осі буде знаходитися велика частина маси, тим більше буде I для системи.
Зміна моменту імпульсу у часі
Розглядаючи момент імпульсу і закон збереження моменту імпульсу у фізиці, можна вирішити просту проблему: визначити, як і за рахунок чого він буде змінюватися в часі. Для цього слід взяти похідну за dt:
dL/dt = d(r*m*v)/dt = m*v*dr/dt+r*m*dv/dt.
Перший доданок-тут дорівнює нулю, оскільки dr/dt = v і добуток векторів v*v = 0 (sin(0) = 0). Другий доданок може бути переписане таким чином:
dL/dt =r*m*a, де прискорення a = dv/dt звідки:
dL/dt =r*F=M.
Величина M, згідно з визначенням, називається моментом сили. Вона характеризує дію сили F на матеріальну точку масою m, розташованої на відстані r від осі обертання.
Що показує отриманий вираз? Воно демонструє, що зміна моменту імпульсу L можливо лише за рахунок дії моменту сили M. Ця формула – закон збереження моменту імпульсу точки: якщо M=0, то dL/dt = 0 і L є постійною величиною.
Які моменти сил можуть змінити L системи?
Існує два види моментів сил M: зовнішні і внутрішні. Перші пов’язані з силовим впливом на елементи системи з боку будь-яких зовнішніх сил, другі ж виникають за рахунок взаємодії частин системи.
Згідно з третім законом Ньютона, будь силі дії відповідає спрямована протилежно сила протидії. Це означає, що сумарний момент сили будь-яких взаємодій всередині системи, завжди дорівнює нулю, тобто він не може вплинути на зміни моменту імпульсу.
Величина L може змінитися лише за рахунок зовнішніх моментів сил.
Формула закону збереження моменту імпульсу
Формула для запису виразу збереження величини L у разі, якщо сума зовнішніх моментів сил дорівнює нулю, має наступний вигляд:
I1*ω1 = I2*ω2.
Будь-які зміни моменту інерції системи пропорційно відображаються на зміні кутової швидкості таким чином, що твір I*ω не змінює свого значення.
Вид цього виразу аналогічний законом збереження лінійного імпульсу (роль маси відіграє I, а роль швидкості – ω). Якщо розвивати аналогію далі, то, крім цього виразу, можна записати ще одне, яке буде відображати збереження кінетичної енергії обертання:
E = I *(ω)2/2 = const.
Застосування закону збереження моменту імпульсу знаходить себе в цілому ряді процесів і явищ, які коротко охарактеризовані нижче.
Приклади використання закону збереження величини L
Наступні приклади закону збереження моменту імпульсу мають важливе значення для відповідних сфер діяльності.
- Будь-який вид спорту, де необхідно здійснювати стрибки з обертанням. Наприклад, співак чи спортсмен з фігурного катання починає виконання піруету з обертанням, широко розвівши руки і відсунувши ногу від центру тяжіння свого тіла. Потім він притискає ногу ближче до опорної і руки ближче до тіла, зменшуючи тим самим момент інерції (велика частина точок тіла розташована близько до осі обертання). За законом збереження величини L, повинна збільшитися його кутова швидкість обертання ω.
- Для зміни напрямку орієнтації відносно Землі якого-небудь штучного супутника. Виконується це так: супутник має спеціальний важкий “маховик”, його приводить в рух електромотор. Загальний момент імпульсу повинен зберігатися, тому сам супутник починає обертатися в протилежну сторону. Коли він прийме потрібну орієнтацію в просторі, маховик зупиняють, і супутник також перестає обертатися.
- Еволюція зірок. По мірі того як зірка спалює своє водневе паливо, сили гравітації починають переважати над її тиском плазми. Цей факт призводить до зменшення радіусу зірки до невеликих розмірів і, як наслідок, до сильного збільшення швидкості обертання кутовий. Наприклад, встановлено, що нейтронні зірки, мають діаметр кілька кілометрів, обертаються з величезними швидкостями, роблячи один оберт за мілісекунди.
Рішення завдання на закон збереження L
Вченими встановлено, що через кілька мільярдів років Сонце, вичерпавши енергетичні запаси, перетвориться на “білого карлика”. Необхідно розрахувати, з якою швидкістю воно буде обертатися навколо осі.
Для початку необхідно виписати значення необхідних величин, які можна взяти з літератури. Отже, зараз ця зірка має радіус 696 000 км і один оборот навколо своєї осі робить за 25,4 земних діб (значення для області екватора). Коли вона підійде до кінця свого еволюційного шляху, то стиснеться до розмірів 7000 км (порядку радіуса Землі).
Вважаючи, що Сонце – ідеальний куля, можна скористатися формулою закону збереження моменту імпульсу для вирішення цієї задачі. Потрібно перевести добу секунди і кілометри в метри, виходить:
L = I*ω = 2/5*m*r12*ω1 = 2/5*m*r22*ω2.
Звідки випливає:
ω2 = (r1/r2)2*ω1 = (696000000/7000000)2*2*3,1416/(25,4*24*3600)= 0,0283 рад/с.
Тут використовувалася формула для кутової швидкості ω = 2*pi/T, де T – період обертання в секундах). При виконанні обчислень також було зроблено припущення, що маса Сонця залишається постійною (це не вірно, оскільки вона буде зменшуватися. Тим не менш отримане значення ω2 є нижньою межею, тобто в дійсності Сонце-карлик буде обертатися ще швидше).
Оскільки повний оберт – це 2*pi радіан, тоді вийде:
T2 = 2*pi/ω2 = 222 с.
Тобто в кінці свого життєвого циклу дана зірка буде робити один оборот навколо своєї осі швидше, ніж за 222 секунди.
