Звичайні дроби використовуються для позначення відношення частини до цілого. Наприклад, торт був поділений між п’ятьма дітьми, отже, кожному дісталася п’ята частина торта (1/5).
Звичайні дроби – це записи виду a/b, де a і b – будь-які натуральні числа. Чисельник – перше верхнє число, а знаменник – друге або нижня. Знаменник вказує на кількість часток, на який поділили ціле, а чисельник – кількість взятих часток.
Історія звичайних дробів
Дробу згадуються вперше в рукописах VIII століття, набагато пізніше – в XVII столітті – вони отримають назву “ламані числа”. Ці числа прийшли до нас із Стародавньої Індії, потім їх використовували араби, а вже до XII століття вони з’явилися і в європейців.
Спочатку звичайні дроби мали наступний вигляд: 1/2, 1/3, 1/4 і т. д. Такі дроби, які мали в чисельнику і позначали одиницю частки цілого, називалися основними. Через багато століть греки, а після них і індійці почали користуватися іншими дробами, частини яких могли складатися з будь-яких натуральних чисел.
Класифікація звичайних дробів
Є правильні і неправильні дроби. Правильні – це ті, у яких знаменник більше чисельника, а в неправильних – навпаки.
Всяка дріб – це результат приватного, тому дробову риску можна сміливо замінювати знаком ділення. Запис даного виду застосовується, коли поділ неможливо здійснити націло. Звертаючись до прикладу на початку статті, скажімо, що дитина отримує частину торта, а не всі ласощі.
Якщо число має таку складну запис, як 2 3/5 (дві цілих і три п’ятих), то воно є змішаним, оскільки натуральне число має ще й дробову частину. Всі неправильні дроби можна вільно перетворити в мішані числа, розділивши чисельник націло на знаменник (таким чином, відбувається виділення цілої частини), залишок записується на місце чисельника з умовним знаменником. В якості прикладу візьмемо дріб 77/15. Розділимо 77 на 15, отримаємо цілу частину 5 і 2 залишок. Отже, отримуємо змішане число 5 2/15 (п’ять цілих і дві п’ятнадцятих).
Можна зробити і зворотну операцію – всі мішані числа легко переводяться в неправильні. Натуральне число (цілу частину) перемножуємо зі знаменником і складаємо з чисельник дробової частини. Проробимо вище перераховане з дробом 5 2/15. Множимо 5 на 15, одержуємо 75. Потім додаємо до отриманого числа 2, отримуємо 77. Знаменник залишаємо таким же, і ось перед вами дріб шуканого виду – 77/15.
Скорочуємо звичайні дроби
Що ж має на увазі під собою операція скорочення дробів? Ділення чисельника і знаменника на одне відмінне від нуля число, яке буде спільним дільником. На прикладі це виглядає так: 5/10 можна скоротити на 5. Чисельник і знаменник діляться націло на число 5, і виходить дріб 1/2. Якщо скоротити дріб неможливо, то вона називається несократимой.
Щоб дробу виду m/n і p/q були рівні, повинно виконуватися наступне рівняння: m * q = n * p. Відповідно, дробу не будуть рівними, якщо виконуватися рівність не буде. Також дробу порівнюють. З дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більше. І навпаки, з дроби з рівними числителями менше та, в якої більший знаменник. На жаль, всі дроби не можна порівнювати таким чином. Найчастіше для порівняння дробів потрібно привести їх до найменшого спільного знаменника (НОЗ).
НОЗ
Розглянемо це на прикладі: потрібно порівняти дроби 1/3 і 5/12. Працюємо зі знаменниками, найменше спільне кратне (НСК) для чисел 3 і 12 – 12. Далі звернемося до чисельників. Розділимо НОК на перший знаменник, отримуємо число 4 (це додатковий множник). Потім множимо число 4 на чисельник першого дробу, так з’явилася нова дріб 4/12. Далі, керуючись простими основними правилами, з легкістю порівнюємо дробу: 4/12 < 5/12, а значить, 1/3 < 5/12.
Пам’ятайте: коли чисельник дорівнює нулю, то і вся дріб дорівнює нулю. Але знаменник ні в якому разі не може дорівнювати нулю, так як на нуль ділити не можна. Коли знаменник дорівнює одиниці, то значення всієї дробу одно числителю. Виходить, що всяке число вільно представляється у вигляді чисельника і знаменника одиниці: 5/1, 4/1 і так далі.
Арифметичні дії з дробами
Порівняння дробів було розглянуто вище. Звернемося до отримання суми, різниці, добутку і частки дробів:
- Додавання або віднімання виконується тільки після приведення дробів до НОЗ. Після цього чисельники складають або вираховують та записують зі знаменником без змін: 5/7 + 1/7 = 6/7, 5/7 – 1/7 = 4/7.
- Множення дробів відбувається трохи інакше: окремо працюють з числителями, а після і зі знаменниками: 5/7 * 1/7 = (5 * 1) / (7 * 7) = 5/49.
- Для ділення дробів потрібно помножити першу на дріб, обернений другий (зворотні дробу – 5/7 та 7/5). Таким чином: 5/7 : 1/7 = 5/7 * 7/1 = 35/7 = 5.
Потрібно знати, що при роботі з мішаними числами окремо проводяться дії з цілими частинами і окремо з дробовими: 5 5/7 + 3 1/7 = 8 6/7 (вісім цілих і шість сьомих). В даному випадку ми склали 5 і 3, 5/7 з 1/7. Для множення або ділення слід переводити змішані числа і працювати з неправильними дробами.
Швидше за все, прочитавши цю статтю, ви дізналися про звичайних дробах, від історії їх виникнення до арифметичних дій. Сподіваємося, що всі ваші питання вичерпані.
