Додекаедр – це об’ємна геометрична фігура, яка має 12 граней. Це основна його характеристика, оскільки кількість вершин і кількість ребер можуть бути змінені. Розглянемо у статті властивості цієї фігури, її використання в даний час, а також деякі цікаві історичні факти, пов’язані з нею.
Загальні поняття про фігуру
Додекаедр – це слово взято з мови стародавніх греків, що буквально означає “фігура з 12-ю гранями”. Його грані являють собою багатокутники. Враховуючи властивості простору, а також визначення додекаедр, можна сказати, що його багатокутники можуть мати 11 сторін і менше. Якщо межі фігури утворені правильними пентагонами (багатокутник, має 5 сторін і 5 вершин), то такий додекаедр називається правильним, він входить в число 5-ти платонівських об’єктів.
Геометричні властивості правильного додекаедр
Розглянувши питання про те, що таке додекаедр, можна перейти до характеристики основних властивостей правильної об’ємної фігури, тобто утвореної однаковими пятиугольниками.
Оскільки розглянута фігура є об’ємною, опуклою і складається з багатокутників (пентагонов), то для неї справедливо правило Ейлера, яке встановлює однозначну залежність між числом граней, ребер і вершин. Воно записується у вигляді: Р + В = Р + 2, де Р – кількість граней, вершин, Р – ребер. Знаючи, що правильний додекаедр – це дванадцятигранник, число вершин якого складає 20, то, використовуючи правило Ейлера, отримуємо: Р = Р + У – 2 = 30 ребер. Кути між сусідніми гранями цієї платонівської фігури є однаковими, вони рівні 116,57 o.
Математичні формули для правильного додекаедр
Нижче наведемо основні формули додекаедр, який складається з правильних п’ятикутників. Ці формули дозволяють обчислити площу поверхні, об’єм, а також визначити радіуси сфер, які можна вписати в фігуру або описати навколо неї:
- Площа поверхні додекаедр, яка являє собою твір 12-ти площ п’ятикутників зі стороною “a”, виражається наступною формулою: S = 3*√(25 + 10*√5)*a2. Для наближених розрахунків можна користуватися виразом: S = 20,65*a2.
- Обсяг правильного додекаедр, як і його сумарна площа граней, однозначно визначається із знання боку п’ятикутника. Ця величина виражається наступною формулою: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a3, що приблизно дорівнює: V = 7,66*a3.
- Радіус вписаного кола, яка стосується внутрішньої сторони граней фігури в їх центрі, визначається так: R1 = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), або приблизно R1 = 1,11*a.
- Описану окружність проводять через 20 вершин правильного додекаедр. Її радіус визначається за формулою: R2 = √6/4*a*√(3 + √5), або приблизно R2 = 1,40*a. Наведені цифри говорять, що радіус внутрішньої сфери, вписаної в додекаедр, становить 79 % від такого для описаної сфери.
Симетрія правильного додекаедр
Як видно з малюнка вище, додекаедр – це досить симетрична фігура. Для опису цих властивостей в кристалографії вводять поняття про елементи симетрії, головними з яких є поворотні осі і площини відбиття.
Ідея використання цих елементів проста: якщо встановити вісь всередині розглянутого кристала, а потім повернути його навколо цієї осі на деякий кут, то кристал повністю співпаде сам з собою. Те ж саме відноситься до площини, тільки операцією симетрії тут є не поворот фігури, а її відображення.
Для додекаедр характерні такі елементи симетрії:
- 6 осей п’ятого порядку (тобто поворот фігури здійснюється на кут 360/5 = 72 o), які проходять через центри розташованих навпроти один одного п’ятикутників;
- 15 осей другого порядку (симетричний кут повороту дорівнює 360/2 = 180 o), які з’єднують середини протилежних ребер октаедра;
- 15 площин відображення, що проходять через розташовані навпроти ребра фігури;
- 10 осей третього порядку (операція симетрії здійснюється при повороті на кут 360/3 = 120 o), які проходять через протилежні вершини додекаедр.
Сучасне використання додекаедр
В даний час геометричні об’єкти у формі додекаедр знаходять застосування в деяких сферах діяльності людини:
- Гральні кістки для настільних ігор. Так як додекаедр – це платонівська фігура, що володіє високою симетрією, то об’єкти цієї форми можна використовувати в іграх, де продовження подій має імовірнісний характер. Гральні кістки в своїй більшості виготовляють кубічної форми, оскільки їх зробити найпростіше, однак сучасні ігри стають все складніше і різноманітніше, а значить, вимагають кісток з великою кількістю можливостей. Кістки у формі додекаедр застосовуються у рольовій грі Dungeons and Dragons. Особливістю цих кісток є те, що сума цифр, розташованих на протилежних гранях, завжди дорівнює 13.
- Джерела звуку. Сучасні звукові колонки часто виготовляють у формі додекаедр, оскільки вони поширюють звук у всіх напрямках і захищають його від навколишнього шуму.
Історична довідка
Як вище було сказано, додекаедр – це одне з п’яти платонових тіл, які характеризуються тим, що утворені однаковими правильними многогранниками. Іншими чотирма платоновыми тілами є тетраедр, октаедр, куб і ікосаедр.
Згадки про додекаэдре відносяться ще до вавилонської цивілізації. Однак перше докладне вивчення його геометричних властивостей зробили давньогрецькі філософи. Так, Піфагор в якості емблеми своєї школи використовував п’ятикутну зірку, побудовану на вершинах пентагону (межі додекаедр).
Платон докладно охарактеризував правильні об’ємні фігури. Філософ вважав, що вони представляють головні стихії: тетраедр – це вогонь; куб – земля; октаедр – повітря; ікосаедр – вода. Оскільки додекаэдру не дісталася ніяка стихія, то Платон припустив, що він описує розвиток усього Всесвіту.
Думки Платона багато можуть порахувати примітивними і псевдонауковими, проте ось що цікаво: сучасні дослідження спостережуваного Всесвіту показують, що приходить на Землю космічне випромінювання володіє анізотропією (залежністю від напрямку), і симетрія цієї анізотропії добре узгоджується з геометричними властивостями додекаедр.
Додекаедр і сакральна геометрія
Священна геометрія являє собою сукупність псевдонаукових (релігійних) знань, які приписують різним геометричним фігурам і символів певне сакральне значення.
Значення багатогранника додекаедр в сакральної геометрії полягає у досконалості його форми, яку наділяють здатністю приводити навколишні тіла в гармонію і рівномірно розподіляти енергію між ними. Додекаедр вважається ідеальною фігурою для практики медитації, оскільки він відіграє роль провідника свідомості в іншу реальність. Йому приписують здатність знімати стрес у людини, відновлювати пам’ять, покращувати увагу і концентраційні здібності.
Римський додекаедр
У середині XVIII століття в результаті деяких археологічних розкопок на території Європи був знайдений дивний предмет: він мав форму додекаедр, зробленого з бронзи, його розміри становили кілька сантиметрів, і він був порожнім всередині. Однак цікаво наступне: в кожній його грані було зроблено отвір, причому діаметр всіх отворів був різним. В даний час знайдено більш 100 таких об’єктів у результаті розкопок у Франції, Італії, Німеччини та інших країн Європи. Всі ці предмети датуються II-III століттям нашої ери і відносяться до епохи панування Римської Імперії.
Як римляни використовували ці предмети – не відомо, оскільки не знайдено жодного письмового джерела, який би містив точне пояснення їх призначення. Лише в деяких працях Плутарха можна зустріти згадка, що ці об’єкти служили для розуміння характеристик 12-ти знаків Зодіаку. Сучасне пояснення таємниці римських додекаэдров має кілька версій:
- предмети використовувалися в якості свічників (всередині них знайдені залишки воску);
- вони застосовувалися як гральні кості;
- додекаэдры могли служити календарем, який вказував на час посадки сільськогосподарських культур;
- могли вони застосовуватися в якості основи для кріплення римського військового штандарта.
Існують і інші версії використання римських додекаэдров, проте жодна з них не має точних доказів. Відомо лише одне: стародавні римляни високо цінували ці предмети, оскільки в розкопках вони часто виявляються в схованках разом із золотом і коштовностями.
