Типовими лінійними параметрами будь піраміди є довжини сторін її заснування, висота, бічні ребра і апофемы. Тим не менше існує ще одна характеристика, яка пов’язана з зазначеними параметрами, – це двогранний кут. Розглянемо у статті, що він собою являє і як його знаходити.
Просторова фігура піраміда
Кожен школяр добре уявляє, про що йде мова, коли чує слово “піраміда”. Геометрично побудувати її можна так: вибрати деякий многокутник, потім зафіксувати точку в просторі і з’єднати її з кожним кутом багатокутника. Вийшла об’ємна фігура буде пірамідою довільного типу. Багатокутник, що її утворює, називається підставою, а точка, з якої з’єднані всі його кути, є вершиною фігури. Нижче на малюнку схематично показана п’ятикутна піраміда.
Видно, що її поверхня утворена не тільки пятиугольником, але і п’ятьма трикутниками. У загальному випадку число цих трикутників буде дорівнює кількості сторін багатокутного підстави.
Двогранні кути фігури
Коли розглядаються геометричні задачі на площині, то будь-кут утворений двома пересічними прямими, або відрізками. У просторі до цих лінійним кутах додаються двогранні, утворені перетином двох площин.
Якщо зазначене визначення кута в просторі застосувати до даної фігури, то можна сказати, що існує два види двогранних кутів:
- При основі піраміди. Він утворений площиною підстави і будь-який з бічних граней (трикутником). Це означає, що кутів при основі у піраміди n, де n – число сторін багатокутника.
- Між бічними сторонами (трикутниками). Кількість цих двогранних кутів дорівнює n штук.
Зауважимо, що перший тип розглянутих кутів будується на ребрах підстави, другий тип – на бічних ребрах.
Як розрахувати кути піраміди?
Лінійний кут двогранного кута є мірою останнього. Обчислити його непросто, оскільки грані піраміди, на відміну від граней призми, не перетинаються під прямими кутами в загальному випадку. Надійніше всього проводити розрахунок значень двогранних кутів з використанням рівнянь площини в загальному вигляді.
У тривимірному просторі площина задається наступним виразом:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Де A, B, C, D – це деякі дійсні числа. Зручністю цього рівняння є те, що перші три зазначених числа є координатами вектора, що перпендикулярний до заданої площини, тобто:
n = [A; B; C]
Якщо відомі координати трьох точок, що належать площині, то, взявши векторний добуток двох векторів, побудованих на цих точках, можна отримати координати n. Вектор n називається направляючим для площини.
Згідно з визначенням, двогранний кут, утворений перетином двох площин, дорівнює лінійному куті між їх напрямними векторами. Припустимо, що ми маємо дві площини, нормальні вектори яких дорівнюють:
n1 = [A1; B1; C1];
n2 = [A2; B2; C2]
Для обчислення кута φ між ними можна скористатися властивістю скалярного твори, тоді відповідна формула приймає вигляд:
φ = arccos(|(n1*n2)|/(|n1|*|n2|))
Або в координатній формі:
φ = arccos(|A1*A2 + B1*B2 + C1*C2|/(√(A12 + B12+C12)*√(A22 + B22 + C22)))
Покажемо, як використовувати викладену методику розрахунку двогранних кутів при рішенні геометричних задач.
Кути правильної чотирикутної піраміди
Припустимо, що є правильна піраміда, в основі якої знаходиться квадрат зі стороною 10 см. Висота фігури дорівнює 12 див. Необхідно обчислити, чому дорівнюють двогранні кути при основі піраміди і для її бічних сторін.
Оскільки задана в умові задачі фігура є правильною, тобто володіє високою симетрією, то всі кути при підставі рівні один одному. Також є однаковими кути, утворені боковими гранями. Щоб обчислити необхідні двогранні кути, знайдемо направляючі вектори для основи і двох бічних площин. Позначимо довжину сторони основи буквою a, а висоту h.
Малюнок вище показує правильну чотирикутну піраміду. Випишемо координати точок A, B, C і D відповідно введеної системою координат:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C (a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Тепер знайдемо направляючі вектори для площин підстави ABC і двох бічних сторін ABD і BCD відповідно до викладеної в пункті вище методикою:
Для ABC:
AB = (0; a; 0); AC = (-a; a; 0); n1 = [AB*AC] = (0; 0; a2)
Для ABD:
AB = (0; a; 0); AD = (-a/2; a/2; h); n2 = [AB*AD] = (a*h; 0; a2/2)
Для BCD:
BC = (-a; 0; 0); BD = (-a/2; -a/2; h); n3 = [BC BD] = (0; a*h; a2/2)
Тепер залишається застосувати відповідну формулу для кута φ і підставити значення сторони і висоти з умови задачі:
Кут між ABC і ABD:
(n1*n2) = a4/2; |n1| = a2; |n2| = a*√(h2 + a2/4);
φ = arccos(a4/2/(a2*a*√(h2 + a2/4))) = arccos(a/(2*√(h2 + a2/4))) = o 67,38
Кут між ABD і BDC:
(n2*n3) = a4/4; |n2| = a*√(h2 + a2/4) ; |n3| = a*√(h2 + a2/4);
φ = arccos(a4/(4*a2*(h2+a2/4)) = arccos(a2/(4*(h2+a2/4))) = o 81,49
Ми вирахували значення кутів, які потрібно знайти за умовою задачі. Отримані при рішенні задачі формули можна використовувати для визначення двогранних кутів чотирикутних правильних пірамід з будь-якими значеннями a і h.
Кути правильної трикутної піраміди
На малюнку нижче дана піраміда, основою якої є правильний трикутник. Відомо, що двогранний кут між бічними сторонами є прямим. Необхідно обчислити площу підстави, якщо відомо, що висота фігури дорівнює 15 див.
Двогранний кут, рівний 90 o, на малюнку позначене як ABC. Вирішити задачу можна, застосовуючи викладену методику, проте в даному випадку зробимо простіше. Позначимо сторону трикутника a, висоту фігури – h, апофему – hb і бічне ребро – b. Тепер можна записати наступні формули:
S = 1/2*a*hb;
b2 = hb2 + a2/4;
b2 = h2 + a2/3
Оскільки два бічних трикутника в піраміді є однаковими, то сторони AB і CB рівні і є катетами трикутника ABC. Позначимо їх довжину x, тоді:
x = a/√2;
S = 1/2*b*a/√2
Прирівнюючи площі бічних трикутників і підставляючи апофему у відповідний вираз, маємо:
1/2*a*hb = 1/2*b*a/√2 =>
hb = b/√2;
b2 = b 2/2 + a2/4 =>
b = a/√2;
a2/2 = h2 + a2/3 =>
a = h*√6
Площа рівностороннього трикутника розраховується так:
S = √3/4*a2 = 3*√3/2*h2
Підставляємо значення висоти з умови задачі, отримуємо відповідь: S = 584,567 см2.
