Будь-яка фізична величина, яка пропонується в математичних рівняннях при вивченні того чи іншого явища природи, несе певний сенс. Не є винятком з цього правила і момент інерції. Фізичний зміст цієї величини докладно розглянуто в даній статті.
Момент інерції: математичне формулювання
В першу чергу слід сказати, що розглянута фізична величина використовується для опису систем обертання, тобто таких рухів об’єкта, які характеризуються круговими траєкторіями навколо деякої осі або точки.
Наведемо математичну формулу моменту інерції для матеріальної точки:
I = m*r2.
Тут m і r – маса і радіус обертання частинки (відстань до осі) відповідно. Будь-яке тверде тіло, яким би складним воно не було, подумки можна розбити на матеріальні точки. Тоді формула моменту інерції в загальному вигляді буде мати вигляд:
I = ∫mr2dm.
Цей вираз справедливий завжди, причому не тільки для тривимірних, але і для двовимірних (одновимірних) тіл, тобто для площин і стрижнів.
З цих формул важко зрозуміти сенс фізичний моменту інерції, однак можна зробити важливий висновок: він залежить від розподілу маси в тілі, яке обертається, а також від відстані до осі обертання. Причому залежність від r є більш різкою, ніж від m (див. знак квадрата у формулах).
Рух по колу
Зрозуміти, який фізичний зміст моменту інерції, неможливо, якщо не розглянути круговий рух тел. Не вдаючись в подробиці, наведемо відразу два математичні вирази, що описують обертання:
I1*ω1 = I2*ω2;
M = I *dω/dt.
Верхнє рівняння носить назву закону збереження величини L (моменту імпульсу). Воно означає, що які б зміни не відбувалися всередині системи (спочатку був момент інерції I1, а потім він став рівним I2), твір I на кутову швидкість ω, тобто момент імпульсу, буде залишатися незмінним.
Нижня вираз демонструє зміну швидкості обертання системи (dω/dt) при впливі на неї деякого моменту сили M, який має зовнішній характер, тобто породжується силами, не пов’язаними з внутрішніми процесами в розглянутій системі.
І в верхньому і нижньому рівностях присутній I, причому чим більше її значення, тим менше буде кутова швидкість ω або кутове прискорення dω/dt. В цьому і полягає фізичний зміст моменту інерції тіла: він відображає здатність системи зберігати свою кутову швидкість. Чим більше I, тим сильніше виявляється ця здатність.
Аналогія з лінійним імпульсом
Тепер перейдемо до того ж висновку, що був озвучений в кінці попереднього пункту, провівши аналогію між обертальним і поступальним рухами у фізиці. Як відомо, останнім описується наступною формулою:
p = m*v.
Це просте вираз визначає імпульс системи. Порівняємо його форму з такою для моменту імпульсу (див. верхнє вираз у попередньому пункті). Ми бачимо, що величини v і ω мають однаковий зміст: перша характеризує швидкість зміни лінійних координат об’єкта, друга – кутових координат. Оскільки обидві формули описують процес рівномірного (равноуглового) руху, то величини m та I також повинні мати однаковий зміст.
Тепер розглянемо 2-й закон Ньютона, який виражається формулою:
F = m*a.
Звертаючи увагу на форму запису нижнього рівності в попередньому пункті, маємо подібну розглянутої ситуацію. Момент сили M в його лінійної уявленні – це сила F, а лінійне прискорення a повністю аналогічно кутового dω/dt. І знову ми приходимо до еквівалентності маси і моменту інерції.
Який сенс несе маса в класичній механіці? Вона є мірою інерції: чим більше m, тим важче зрушити предмет з місця, а тим більше надати йому прискорення. Те ж саме можна сказати і про момент інерції стосовно до руху обертання.
Фізичний зміст моменту інерції на побутовому прикладі
Задамося простим питанням про те, як легше крутити металевий стрижень, наприклад, арматуру – коли вісь обертання спрямована вздовж його довжини або поперек? Звичайно ж, легше розкрутити стрижень в першому випадку, тому що його момент інерції для такого положення осі буде дуже маленьким (для тонкого стрижня він дорівнює нулю). Тому досить затиснути між долоньок предмет і легким рухом привести його в обертання.
До речі, описаний факт експериментально перевірили наші предки ще в старожитні часи, коли навчилися добувати вогонь. Вони розкручували паличку з величезними кутовими прискореннями, що призводило до створення великих сил тертя і, як наслідок, до виділення значної кількості теплоти.
Маховик авто – яскравий приклад використання великого значення моменту інерції
На завершення хотілося б привести, мабуть, самий важливий для сучасної техніки приклад використання фізичного сенсу моменту інерції. Маховик авто являє собою суцільний сталевий диск, що має відносно великі радіус і масу. Ці дві величини обумовлюють існування значної величини I, що характеризує його. Маховик покликаний “пом’якшувати” будь-які силові дії на коленвал автомобіля. Імпульсивний характер діючих моментів сил від циліндрів двигуна на коленвал згладжується і робиться плавним завдяки важкого маховика.
До речі, чим більше момент імпульсу, тим більше енергії знаходиться в обертовій системі (аналогія із масою). Цей факт хочуть використовувати інженери, запасаючи енергію гальмування авто в маховику, щоб згодом направити її на розгін транспортного засобу.
