Після вивчення рівнянь першого порядку в школах проходять тему квадратних рівностей. Існує кілька методів їх вирішення, однак застосування формули з дискриминантом є найпоширенішим і універсальним. Розглянемо у статті цю формулу вирішення квадратних рівнянь.
Які рівняння називаються квадратними?
Нижче наведено малюнок, на якому зображено рівність, що складається з трьох доданків. Змінна x є невідомою. Оскільки перший член містить її у другого ступеня, то даний вираз отримав назву квадратного. Латинськими літерами a, b і c у ньому позначені числові коефіцієнти.
Це рівняння називають повним, оскільки в ньому присутні всі доданки, що містять змінну під 2-й, 1-й і 0-й ступені (член c, званий вільним, можна представити у вигляді c * x0).
Якщо один з коефіцієнтів b або c буде нульовим, тоді рівняння стане неповним. Зауважимо, що рівність нуля числа a автоматично перетворює цей вираз в лінійне рівняння.
Як повних, так і неповних рівностей другого порядку можна використовувати формулу вирішення квадратного рівняння через дискриминант.
Універсальна формула
Як було згадано вище, через дискриминант формула рішення квадратного рівняння може використовуватися для знаходження коренів рівності другого порядку абсолютно будь-якого типу. Ця формула зображена на малюнку нижче.
З неї видно, що рівняння максимум може мати два рішення (знак ±), однак якщо підкореневий вираз у знаменнику буде дорівнює нулю, тоді невідомий x, що задовольняє рівності, буде представлений єдиним дійсним числом. Формула рішення квадратного рівняння демонструє також, що її використання можливе в разі знання всіх трьох (або менше для неповного рівняння) його коефіцієнтів.
Розглянуту формулу можна отримати самостійно, для цього достатньо розв’язати рівняння в загальному вигляді за допомогою методу доповнення до повного квадрата.
Зазначимо, що цю формулу для визначення коренів неповних рівнянь немає необхідності використовувати, оскільки існують більш прості методи рішення (факторизація з допомогою винесення за дужки ікса або просте перенесення вільного члена в праву частину рівності і взяття кореня з нього).
Поняття дискримінанта та його значення
Якщо подивитися ще раз на формулу вирішення квадратного рівняння через дискриминант, то останнім буде називатися різниця, укладена під знак кореня в знаменнику, тобто b2 – 4 * a *c.
Яку роль він відіграє? Не знаючи про рівнянні абсолютно нічого, а маючи тільки його дискриминант, можна з упевненістю сказати, скільки рішень воно має, і якого вони типу. Так, позитивного значення дискримінанта відповідає 2 дійсних рішення, негативне його значення говорить також про 2-х рішеннях, але вони вже будуть комплексними числами. Нарешті, якщо дискриминант дорівнює нулю, що виконується, коли b * b = 4 * a * c, то рівняння буде мати лише одним дійсним коренем x.
Приклади розв’язання рівностей другого порядку
Використовуючи формулу коренів квадратного рівняння, рішення квадратних рівнянь приведемо в завданнях різного характеру.
Завдання № 1. Твір деяких 2-х чисел дорівнює -84, а їх сума становить 5. Потрібно визначити ці числа.
Складаємо систему рівнянь згідно заданому умові, отримуємо:
x1 * x2 = -84
x1 + x2 = 5
Висловлюємо з другого рівняння x1, підставляємо його в перше:
(5 – x2) *x2 = -84 = -(x2)2 + 5 * x2
Тепер слід перенести члени із іксом і іксом у квадраті в ліву частину і обчислити дискриминант:
(x2)2 – 5 * x2 – 84 = 0; D = 25 – 4 *1 * (-84) = 361
Скориставшись універсальною формулою, отримуємо значення коренів рівняння:
x2 = (5 ± 19) / 2 = > x2 = (12; -7)
Щоб отримати x1, можна скористатися будь-яким з рівнянь системи. Підставляючи відомі значення x2, ми отримаємо аналогічні числа x1. Цей факт означає, що умові задачі відповідає лише одна пара чисел, тобто -7 і 12.
Завдання № 2. Тепер вирішимо кілька незвичну завдання. Нижче дано рівняння:
x2 − k * x + 36 = 0
Необхідно знайти значення k, які призводили б до єдиного рішення рівності.
Щоб зрозуміти, як відповісти на поставлене питання, слід згадати, що рівняння розглянутого типу має 1 корінь тільки в тому випадку, якщо його дискриминант нульовий. Тобто нам потрібно знайти цей дискриминант, звідки можна отримати число k. Маємо:
D = k2 – 4 * 1 * 36 = 0
Отримане рівність називається чистим рівнянням другого порядку (в ньому немає коефіцієнта b). Вирішуємо його:
k = ±√144 = ±12
Таким чином, якщо число k прийме значення +12 або -12, то корінь рівняння буде один.
