Поняття дискримінанта та його значення
Якщо подивитися ще раз на формулу вирішення квадратного рівняння через дискриминант, то останнім буде називатися різниця, укладена під знак кореня в знаменнику, тобто b2 – 4 * a *c.
Яку роль він відіграє? Не знаючи про рівнянні абсолютно нічого, а маючи тільки його дискриминант, можна з упевненістю сказати, скільки рішень воно має, і якого вони типу. Так, позитивного значення дискримінанта відповідає 2 дійсних рішення, негативне його значення говорить також про 2-х рішеннях, але вони вже будуть комплексними числами. Нарешті, якщо дискриминант дорівнює нулю, що виконується, коли b * b = 4 * a * c, то рівняння буде мати лише одним дійсним коренем x.
Приклади розв’язання рівностей другого порядку
Використовуючи формулу коренів квадратного рівняння, рішення квадратних рівнянь приведемо в завданнях різного характеру.
Завдання № 1. Твір деяких 2-х чисел дорівнює -84, а їх сума становить 5. Потрібно визначити ці числа.
Складаємо систему рівнянь згідно заданому умові, отримуємо:
x1 * x2 = -84
x1 + x2 = 5
Висловлюємо з другого рівняння x1, підставляємо його в перше:
(5 – x2) *x2 = -84 = -(x2)2 + 5 * x2
Тепер слід перенести члени із іксом і іксом у квадраті в ліву частину і обчислити дискриминант:
(x2)2 – 5 * x2 – 84 = 0; D = 25 – 4 *1 * (-84) = 361
Скориставшись універсальною формулою, отримуємо значення коренів рівняння:
x2 = (5 ± 19) / 2 = > x2 = (12; -7)
Щоб отримати x1, можна скористатися будь-яким з рівнянь системи. Підставляючи відомі значення x2, ми отримаємо аналогічні числа x1. Цей факт означає, що умові задачі відповідає лише одна пара чисел, тобто -7 і 12.
Завдання № 2. Тепер вирішимо кілька незвичну завдання. Нижче дано рівняння:
x2 − k * x + 36 = 0
Необхідно знайти значення k, які призводили б до єдиного рішення рівності.
Щоб зрозуміти, як відповісти на поставлене питання, слід згадати, що рівняння розглянутого типу має 1 корінь тільки в тому випадку, якщо його дискриминант нульовий. Тобто нам потрібно знайти цей дискриминант, звідки можна отримати число k. Маємо:
D = k2 – 4 * 1 * 36 = 0
Отримане рівність називається чистим рівнянням другого порядку (в ньому немає коефіцієнта b). Вирішуємо його:
k = ±√144 = ±12
Таким чином, якщо число k прийме значення +12 або -12, то корінь рівняння буде один.
