Правильна піраміда та її обсяг
Отриману в пункті вище загальну формулу для об’єму можна уточнити у разі піраміди з правильним підставою. Площа такої підстави обчислюється за наступною формулою:
A0 = n/4*L2*ctg(pi/n).
Тут L є довжиною сторони правильного багатокутника з n вершинами. Символ pi – число пі.
Підставляючи вираз для A0 в загальну формулу, отримуємо об’єм правильної піраміди:
Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).
Наприклад, для трикутної піраміди ця формула приводить до наступного виразу:
V3 = 3/12*L2*h*ctg(60o) = √3/12*L2*h.
Для правильної чотирикутної піраміди формула обсягу набуває вигляду:
V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.
Визначення обсягів правильних пірамід вимагає знання боку їх основи і висоти фігури.
Усічена піраміда
Припустимо, що ми взяли довільну піраміду і відсікли у неї частину бічної поверхні, яка містить вершину. Залишилася фігура називається усіченої піраміди. Вона складається вже з двох n-вугільних підстав і n трапецій, які їх з’єднують. Якщо січна площина була паралельна основи фігури, тоді утворюється усічена піраміда з паралельними такими підставами. Тобто довжини сторін одного з них можна отримати, помноживши довжини іншого на деякий коефіцієнт k.
Малюнок вище демонструє усічену правильну шестикутну піраміду. Видно, що верхня основа її так само, як і нижнє, утворено правильним шестикутником.
Формула об’єму усіченої піраміди, яку можна вивести, використовуючи подібне до наведеного інтегральне числення, має вигляд:
V = 1/3*h*(A0 + A1 + √(A0*A1)).
Де A0 і A1 – площі нижнього (великого) і верхнього (маленького) підстав відповідно. Змінної h позначається висота усіченої піраміди.
