Формула об’єму піраміди
Для обчислення об’єму піраміди скористаємось інтегральним численням. Для цього розіб’ємо фігуру паралельними основи січними площинами на нескінченне число тонких шарів. Малюнок нижче показує чотирикутну піраміду висотою h і довжиною сторони L, в якій чотирикутником відзначений тонкий шар перерізу.
Площа кожного такого шару можна обчислити за формулою:
A(z) = A0*(h-z)2/h2.
Тут A0 – площа підстави, z – значення вертикальної координати. Видно, що якщо z = 0, то формула дає значення A0.
Щоб отримати формулу об’єму піраміди, потрібно обчислити інтеграл по всій висоті фігури, тобто:
V = ∫h 0(A(z)*dz).
Підставляючи залежність A(z) і обчислюючи первообразную, приходимо до виразу:
V = -A0*(h-z)3/(3*h 2)|h0 = 1/3*A0*h.
Ми отримали формулу об’єму піраміди. Щоб знайти величину V, досить помножити висоту фігури на площу основи, а потім результат поділити на три.
Зауважимо, що отриманий вираз справедливо для обчислення об’єму піраміди довільного типу. Тобто вона може бути похилій, а її основу представляти собою довільний n-кутник.
