Окружність – основна фігура в геометрії, властивості якої розглядають в школі у 8 класі. Одна з типових завдань, пов’язаних з окружністю, полягає в знаходженні площі деякої її частини, яка носить назву кругового сектора. У статті наводяться формули площі сектора і його довжини дуги, а також приклад їх використання для вирішення конкретної задачі.
Поняття про колі та колі
Перед тим як приводити формулу площі сектора кола, розглянемо, що собою являє зазначена фігура. Згідно математичного визначенням, під колом розуміють таку фігуру на площині, всі точки якої рівновіддалені від деякої однієї точки (центру).
Коли розглядають коло, то користуються такою термінологією:
- Радіус – відрізок, який проводиться від центральної точки до кривої колу. Його прийнято позначати буквою R.
- Діаметр – це відрізок, який з’єднує дві точки кола, але при цьому проходить також через центр фігури. Його зазвичай позначають буквою D.
- Дуга – це частина кривої колу. Вимірюють її або в одиницях довжини, або з використанням кутів.
Коло – ще одна важлива фігура геометрії, він являє собою сукупність точок, яка обмежена кривою колу.
Площа кола і довжина кола
Зазначені в назві пункту величини розраховуються з використанням двох простих формул. Вони наведені нижче:
- Довжина окружності: L = 2*pi*R.
- Площа кола: S = pi*R2.
В цих формулах pi – це деяка константа, яка називається числом Пі. Воно є ірраціональним, тобто не може бути точно виражено простий дробом. Приблизно число Пі дорівнює 3,1416.
Як видно з наведених виразів, щоб розрахувати площу і довжину достатньо знати тільки радіус кола.
Площа сектора кола і довжина дуги
Перед тим як розглядати відповідні формули, нагадаємо, що кут в геометрії прийнято виражати двома основними способами:
- у шестидесятеричных градусах, причому повний оборот навколо своєї осі дорівнює 360 o;
- в радіанах, які виражаються в частках числа pi і пов’язані з градусами наступним рівністю: 2*pi = 360o.
Сектор кола – це фігура, обмежена трьома лініями: дугою окружності і двома радіусами, що знаходяться на кінцях цієї дуги. Приклад кругового сектора зображений на фото нижче.
Отримавши уявлення про те, що таке сектор для кола, легко зрозуміти, як обчислити його площу і довжину відповідної дуги. З малюнка вище видно, що дузі сектора відповідає кут θ. Ми знаємо, що повна окружність відповідає 2*pi радианам, значить, формула площі кругового сектора прийме вигляд: S1 = S*θ/(2*pi) = pi*R2*θ/(2*pi) = θ*R2/2. Тут кут θ виражений в радіанах. Аналогічна формула площі сектора у разі, якщо кут θ вимірюється в градусах, буде мати вигляд: S1 = pi*θ*R2/360.
Довжина дуги, що утворює сектор, обчислюється за формулою: L1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. І якщо θ відомий в градусах, тоді: L1 = pi*θ*R/180.
Приклад розв’язання задачі
Покажемо на прикладі простої задачі, як користуватися формулами площі сектора кола і його довжини дуги.
Відомо, що колесо має 12 спиць. Коли колесо робить один повний оберт, то воно долає відстань 1,5 метра. Чому дорівнює площа, укладена між двома сусідніми спицями колеса, і чому дорівнює довжина дуги між ними?
Як видно з відповідних формул, щоб ними користуватися, необхідно знати дві величини: радіус кола і кут дуги. Радіус можна обчислити, виходячи зі знання довжини окружності колеса, оскільки пройдена ним відстань за один оборот, точно їй відповідає. Маємо: 2*R*pi = 1,5, звідки: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 метра. Кут між найближчими спицями можна визначити, знаючи їх число. Вважаючи, що всі 12 спиць ділять рівномірно коло на рівні сектори, ми отримуємо 12 однакових секторів. Відповідно, кутова міра дуги між двома спицями дорівнює: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 радіан.
Ми знайшли всі необхідні величини, тепер їх можна підставити у формули і порахувати необхідні умовою завдання значення. Отримуємо: S1 = 0,5236*(0,2387)2/2 = 0,0149 м2, або 149 см2; L1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 м, або 12,5 див.
