Розділ фізики, який вивчає особливості рух рідких середовищ, називається гідродинаміки. Одним з головних математичних виразів гідродинаміки є рівняння Бернуллі для ідеальної рідини. Саме цій темі присвячена стаття.
Що таке ідеальна рідина?
Багато хто знає, що рідка субстанція представляє собою таке агрегатний стан матерії, яке зберігає при постійних зовнішніх умовах обсяг, але змінює свою форму при найменшому впливі на неї. Під ідеальною рідиною розуміють таку текучу субстанцію, яка не має в’язкості і є нестисливої. Це два головні властивості, які відрізняють її від реальних текучих середовищ.
Зазначимо, що практично всі реальні рідини можна вважати несжимаемыми, оскільки для невеликої зміни їх обсягу необхідно величезний зовнішній тиск. Наприклад, якщо створити тиск в 5 атмосфер (500 кПа), то вода збільшить свою щільність всього на 0,024 %. Що стосується питання в’язкості, то для ряду практичних задач, коли в якості робочої рідини розглядається вода, нею можна знехтувати. Для повноти інформації зазначимо, що динамічна в’язкість води при 20 oC становить 0,001 Па*с2, що в порівнянні з цією величиною для меду (>2000), є мізерним значенням.
Важливо не плутати поняття ідеальної рідини та ідеального газу, оскільки останній є легко сжимаемым.
Рівняння неперервності
У гідродинаміці рух ідеальної рідини починають розглядати з вивчення рівняння безперервності її потоку. Щоб зрозуміти суть питання, необхідно розглянути рух рідини по трубі. Уявімо, що на вході труба має площу перерізу A1, а на виході A2.
Тепер припустимо, що рідина тече на початку труби зі швидкістю v1, це означає, що за час t через перетин A1 пройде потік об’ємом V1 = A1*v1*t. Оскільки рідина є ідеальною, тобто нестисливої, то точно такий же об’єм води повинен вийти з кінця труби за час t, отримуємо: V2 = A2*v2*t. З рівності обсягів V1 і V2 слід рівняння неперервності потоку ідеальної рідини:
A1*v1 = A2*v2.
З отриманого рівняння випливає, що якщо A1>A2, то v1 має бути менше, ніж v2. Іншими словами, зменшуючи переріз труби, ми тим самим збільшуємо швидкість виходить з неї потоку рідини. Очевидно, що цей ефект спостерігав кожна людина в житті, хто хоча б раз поливав з шланга клумби з квітами або город, так, прикриваючи пальцем отвір шланга, можна спостерігати, як струмінь б’є з нього води стає все сильніше.
Рівняння неперервності для розгалуженої труби
Цікаво розглянути випадок руху ідеальної рідини по трубі, яка має не один, а два і більше виходу, тобто є розгалуженою. Наприклад, площа перерізу труби на вході дорівнює A1, а до виходу вона розгалужується на дві труби з перерізами A2 і A3. Визначимо швидкості потоків v2 і v3, якщо відомо, що на вхід вода надходить зі швидкістю v1.
Використовуючи рівняння безперервності, отримуємо вираз: A1*v1 = A2*v2 + A3*v3. Щоб вирішити це рівняння відносно невідомих швидкостей, потрібно розуміти, що на виході, в якій би трубі не перебував потік, він рухається з однаковою швидкістю, тобто v2=v3. Цей факт можна зрозуміти інтуїтивно. Якщо розділити деякої перегородкою вихідну трубу на дві частини, швидкість потоку при цьому не зміниться. Враховуючи цей факт, отримуємо рішення: v2 = v3 = A1*v1/(A2 + A3).
Рівняння Бернуллі для ідеальної рідини
Швейцарський фізик і математик голландського походження Данило Бернуллі у своїй роботі “Гідродинаміка” (1734 рік) представив ідеальної рідини рівняння, що описує її рух. Воно записується в наступній формі:
P+ ρ*v2/2 + ρ*g*h = const.
Цей вислів відображає закон збереження енергії у разі течії рідини. Так, перший доданок (P) – тиск, спрямований вздовж вектора переміщення рідини, яка описує роботу потоку, другий доданок (ρ*v2/2) – це кінетична енергія текучої субстанції, і третій доданок (ρ*g*h) – це його потенційна енергія.
Нагадаємо, що це рівняння справедливе для ідеальної рідини. Насправді ж завжди існує тертя текучою субстанції об стінки труби і всередині її обсягу, тому наведене рівняння Бернуллі вводять додатковий член, що описує ці енергетичні втрати.
Використання рівняння Бернуллі
Цікаво навести деякі винаходи, в яких використовуються висновки з рівняння Бернуллі:
- Димар і витяжки. З рівняння випливає, що чим більше швидкість руху текучою субстанції, тим менше її тиск. Швидкість руху повітря нагорі димоходу більше, ніж у його основі, тому потік диму з-за різниці тисків завжди прагне вгору.
- Водопровідні труби. Рівняння допомагає зрозуміти, як зміниться тиск води в трубі, якщо змінити діаметр останньої.
- Літаки і “Формула-1”. Кут розташування крил літака і антикрила “Формули-1” забезпечує різниця тиску повітря над і під крилом, що створює підйомну і притискуючу силу відповідно.
Режими течії рідини
Рівняння Бернуллі не враховує режим руху рідини, який може бути двох типів: ламінарний і турбулентний. Ламінарний потік характеризується спокійним плином, при якому шари рідини рухаються щодо плавним траєкторіях і не змішуються між собою. Турбулентний режим руху рідини характеризується хаотичним переміщенням кожної молекули, складовою потік. Особливістю турбулентного режиму є наявність завихрень.
Яким способом буде текти рідина, залежить від ряду факторів (особливості системи, наприклад, наявності або відсутності шорсткості на внутрішній поверхні труби, в’язкості субстанції і швидкості її переміщення). Перехід між розглянутими режимами руху описується числами Рейнольдса.
Яскравим прикладом ламінарного плину є повільний рух крові по гладким кровоносних судинах. Приклад турбулентної течії – сильний напір води з крана.
