Момент інерції циліндра відносно осі, його підстав перпендикулярної
З наведеної вище формули можна зрозуміти, що величина I є характеристикою всієї обертової системи, тобто вона залежить від форми тіла і розподілу в ньому маси, так і від відносного положення осі.
У цьому пункті розглянемо простий випадок: необхідно визначити момент інерції для суцільного циліндра, вісь обертання якого перпендикулярна його підстав і проходить через гравітаційний центр фігури.
Для вирішення проблеми застосуємо інтегральну формулу для I. В процесі операції інтегрування подумки розіб’ємо циліндр на тонкі кільця товщиною dr. Кожне колечко буде мати обсяг: dV = 2*pi*r*dr*h, тут h – висота фігури. Враховуючи, що dm = ρ*dV, де ρ – щільність циліндра, отримуємо:
I = ∫r2dm = ρ*∫r2dV = 2*pi*ρ*h*∫r3dr
Цей інтеграл необхідно обчислити для межами від 0 до R, де R – радіус фігури. Тоді отримаємо:
I = 2*pi*ρ*h*∫R0r3dr = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R0 = pi*ρ*h*R4/2
Скориставшись формулою для маси циліндра через його обсяг і щільність, приходимо до кінцевого виразом:
I = m*R2/2, де m = pi*ρ*h*R2
Ми отримали формулу для моменту інерції однорідного циліндра. Вона показує, що величина I для цієї фігури в 2 рази менше, ніж для матеріальної точки аналогічної маси, яка обертається на відстані радіуса циліндра від осі.
