Величина I для циліндра, вісь обертання якого проходить паралельно площинам його заснування
У такій системі вісь обертання проходить через центр маси циліндра, але тепер він лежить на боці (на циліндричній поверхні, див. рис. нижче).
Розрахунок для моменту інерції циліндра для такої ситуації є непростим завданням, оскільки вимагає наявності додаткових знань для її вирішення. Тим не менш наведемо необхідні математичні викладки, щоб читачі мали більш повне уявлення про проведення інтегрування при обчисленні I.
Починаємо вирішувати завдання. Розбиваємо суцільний циліндр на окремі диски нескінченно малої товщини. Щоб дізнатися, яким моментом інерції має цей диск відносно осі, що проходить через нього і паралельна його підстав, необхідно виконати окреме інтегрування. Воно дає наступний результат:
Ii = R2*dm/4
Щоб знайти величину Ii для цього диска відносно вже нової осі, яка розглядається в задачі, необхідно скористатися теоремою Штейнера. Отримаємо:
Ii = R2*dm/4 + L2*dm, тут L – відстань від осі до тонкого диска.
Знаючи, що dm = pi*R2*dL*ρ, підставляємо в інтегральну формулу для I і проводимо інтегрування по межам (-L0/2; +L0/2), маємо:
I = ∫mIi = ∫m(R2*dm/4 + L2*dm) = pi*R2*ρ*∫L0/2-L0/2(R2*dL/4 + L2*dL)
Рішення цього інтеграла призводить до кінцевої формулою:
I = m*(R2/4 + L02/12)
