Формула кута між прямими
На площині дві прямі можуть перетинатися, або бути паралельними один одному. У просторі до цих функцій додається також ще можливість існування скрещивающихся прямих. Який би варіант взаємного положення цих одновимірних геометричних об’єктів не був реалізований, кут між ними завжди можна визначити по наступній формулі:
φ = arccos(|(v1*v2)|/(|v1|*|v2|))
Де v1 і v2 – це вектори напрямні для прямого 1 і 2 відповідно. В чисельнику стоїть модуль скалярного добутку, щоб виключити тупі кути і враховувати тільки гострі.
Вектори v1 і v2 можуть бути задані двома або трьома координатами, формула для кута φ при цьому залишається незмінною.
Паралельність і перпендикулярність прямих
Якщо розрахований за формулою вище кут між прямими 2 дорівнює 0 o, то кажуть, що вони є паралельними. Щоб визначити, чи будуть прямі паралельними чи ні, можна не обчислювати кут φ, досить показати, що один напрямний вектор може бути представлений через аналогічний вектор інший прямий, тобто:
v1 = q*v2
Тут q – деяке дійсне число.
Якщо рівняння прямих задані у вигляді:
y = k1*x + p1,
y = k2*x + p2,
то паралельними вони будуть тільки тоді, коли дорівнюють коефіцієнти при x, тобто:
k1 = k2
Довести цей факт можна, якщо розглянути, як виражається коефіцієнт k через координати направляючого вектора прямої.
Якщо кут перетину між прямими дорівнює 90 o, тоді вони називаються перпендикулярними. Для визначення перпендикулярності прямих також не обов’язково обчислювати кут φ, для цього достатньо розрахувати лише скалярний добуток векторів v1 і v2. Воно має бути одно нулю.
У разі скрещивающихся прямих у просторі формулою для кута φ теж можна користуватися. При цьому слід правильно інтерпретувати отриманий результат. Обчислений φ показує величину кута між напрямними векторами прямих, які не перетинаються і не є паралельними.
