Завдання №1. Перпендикулярні прямі
Відомо, що рівняння прямих мають вигляд:
(x; y) = (1; 2) + α*(1; 2);
(x; y) = (-4; 7) + β*(-4; 2)
Необхідно визначити, чи є ці прямі перпендикулярними.
Як було сказано вище, для відповіді на запитання достатньо провести розрахунок скалярного добутку векторів направляючих, яким відповідають координати (1; 2) і (-4; 2). Маємо:
(1; 2)*(-4; 2) = 1*(-4) + 2*2 = 0
Оскільки ми отримали 0, то це означає, що ці прямі перетинаються під прямим кутом, тобто є перпендикулярними.
Завдання №2. Кут перетину прямих
Відомо, що два рівняння для прямих мають наступний вигляд:
y = 2*x – 1;
y = -x + 3
Необхідно знайти кут між прямими.
Оскільки коефіцієнти при x мають різну величину, то ці прямі не паралельні. Щоб знайти кут, який утворюється при їх перетині, переведемо кожне з рівнянь у векторний вигляд.
Для першої прямої отримуємо:
(x; y) = (x; 2*x – 1)
В правій частині рівності ми отримали вектор, координати якого залежать від x. Представимо його у вигляді суми двох векторів, причому координати першого будуть містити змінну x, а координати другого будуть складатися винятково з чисел:
(x; y) = (x; 2*x) + (0; – 1) = x*(1; 2) + (0; – 1)
Оскільки x приймає довільні значення, то його можна замінити на параметр α. Векторне рівняння для першої прямої приймає вигляд:
(x; y) = (0; – 1) + α*(1; 2)
Ті ж самі дії проробляємо з другим рівнянням прямої, отримуємо:
(x; y) = (x-x + 3) = (x-x) + (0; 3) = x*(1; -1) + (0; 3) =>
(x; y) = (0; 3) + β*(1; -1)
Ми переписали у векторному вигляді вихідні рівняння. Тепер можна скористатися формулою для кута перетину, підставляючи в неї координати направляючих векторів прямих:
(1; 2)*(1; -1) = -1;
|(1; 2)| = √5;
|(1; -1)| = √2;
φ = arccos(|-1|/(√5*√2)) = 71,565 o
Таким чином, розглянуті прямі перетинаються під кутом 71,565 o, або 1,249 радіан.
Цю задачу можна вирішити інакше. Для цього слід взяти дві довільні точки кожної прямої, скласти з них вектора направляючі, а потім скористатися формулою для φ.
