У шкільному курсі геометрії вивчаються властивості різних видів призм, включаючи шестикутну. Остання часто зустрічається при розгляді кристалічних решіток металів, тому знання її характеристик важливо при визначенні властивостей цього класу матеріалів. Дана стаття присвячена питанню площі основи правильної шестикутної призми.
Об’ємна фігура – призма
В геометрії під призмою розуміють таку фігуру, яка утворена двома рівними багатокутниками, розташованими паралельно один одному, і деяким числом паралелограмів, що з’єднують вершини названих багатокутників. Якщо основа утворено гратки з n вершинами, то кількість паралелограмів також буде дорівнює n.
Призми характеризуються за типом багатокутника в підставі (правильні і неправильні трикутні, чотирикутні і так далі), який може бути увігнутих і опуклих, і по куту між бічними гранями (параллелограммами) і підставою (прямокутні і косокутні).
Основними елементами будь-якої призми є її межі (М), ребра (Р) і вершини (В). На малюнку вище наведена для прикладу трикутна призма. Як видно, вона має 6 вершин (3 для кожного підстави). Нижче наведена розгортка цієї призми. Малюнок показує, що вона складається з 5 граней: 2 трикутника і 3 прямокутника.
Щоб порахувати число ребер розглянутої фігури, слід застосувати теорему Ейлера:
Р = В + Г – 2
Цей вираз дає число ребер для цієї призми, рівну 9. Дійсно, якщо звернутися до тривимірного зображення призми вище, то можна побачити, що 6 ребер утворюють підстави фігури, і ще 3 ребра є результатом перетину прямокутників.
Шестикутна Призма
Перед розглядом питання площі основи правильної шестикутної призми, спочатку познайомимося з цією фігурою. З назви та наведеної вище класифікації призм зрозуміло, що мова піде про фігуру, в основі якої лежить шестикутник. Це означає, що число сторін у такий призмі буде дорівнює 8 (дві підстави і шість паралелограмів), а число вершин складе 12 (6 + 6). Тоді кількість ребер буде дорівнює:
Р = 12 + 8 – 2 = 18
З цих 18-ти ребер підстав належать 12.
Якщо у підставі знаходиться правильний шестикутник, а кути між бічними сторонами (параллелограммами) та підставами рівні 90o, то така фігура буде називатися прямокутної призмою з правильним шестикутником в підставі, або просто правильної шестикутної призмою. Її схематичне зображення наводиться нижче.
У правильної шестикутної призми всі ребра рівні тільки в тому випадку, якщо c = a, де c – висота (довжина бічного ребра) і a – довжина сторони шестикутника. У загальному випадку c ≠ a.
Далі наведемо формули для обчислення площі поверхні та об’єму даної призми. Щоб це зробити, необхідно знати площу основи правильної шестикутної призми.
Площа шестикутника
Отримаємо формулу площі правильного шестикутника. Для цього розглянемо цю плоску фігуру, яка зображена на малюнку нижче.
Видно, що багатокутник складається з шести однакових сторін, які утворюють кут 120 o. Оскільки цих кутів шість, то їх сума складе 720o.
Рисунок також показує, що правильний шестикутник гармонійно вписується в коло. Якщо з’єднати центр кола з кожною вершиною фігури, то отримаємо 6 однакових трикутників. Оскільки кутова міра всій окружності становить 360o, то відповідні кути трикутника дорівнюють 60o (360o/6). Вони позначені на малюнку. Оскільки кожен сірий відрізок ділить кут шестикутника навпіл, то два трикутника також рівні за 60o. Це означає, що зображені 6 трикутників є рівносторонніми. Довжина кожної з їх сторін дорівнює стороні шестикутника, позначимо її буквою a.
З курсу геометрії відомо, що площа S3 будь-якого трикутника дорівнює добутку його висоти h на бік a, до якої вона проведена, поділеному навпіл, тобто:
S3 = h*a/2
Довжину h легко обчислити, використовуючи поняття про тригонометричної функції. Вона дорівнює:
h = a*cos(30o) = a*√3/2
Тоді площа всього трикутника дорівнює:
S3 = √3*a2/4
Множачи цю площу на 6, отримуємо формулу площі правильного шестикутника:
S6 = 6*S3 = 3*√3*a2/2
Для повноти інформації слід зазначити, що існує формула площі правильного багатокутника з довільною кількістю сторін n. Нижче наведено відповідний вираз:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
Якщо підставити в це вираження значення n = 6, то ми отримаємо формулу площі основи правильної шестикутної призми, яка збігається з наведеною вище.
Зауважимо, що поділ шестикутника на 6 рівносторонніх трикутників означає, що шестикутна призма складається з 6 правильних трикутних призм.
Площа поверхні
Повна площа поверхні будь призми може бути отримана, якщо скласти відповідні площі So для двох підстав і для бічної поверхні Sb, представленої параллелограммами:
S = 2*So + Sb
Вивчимо розгортку розглянутого виду призми, яка наведена на малюнку нижче.
Ми бачимо, що призма складається з двох однакових шестикутників і 6 прямокутників. Позначимо сторону підстави буквою a, а сторони прямокутників літерами a і c (сторона a є загальною для шестикутника і прямокутника). В такому випадку площа повної поверхні шестикутної призми буде становити:
S = 2*3*√3*a2/2 + 6*a*c = 3*a*(√3*a + 2*c)
Об’єм призми
Ця важлива величина для будь-якого реального об’єкта у випадку призми знаходиться просто: необхідно лише помножити площу основи на висоту фігури, тобто:
V = So*h
Оскільки ми розглядаємо прямокутну призму, то її висота дорівнює довжині бічного ребра, тобто h = c. Тоді формула для обсягу правильної шестикутної призми запишеться у вигляді:
V = 3*√3*a2*c/2
Таким чином, для визначення площі та обсягу даної фігури необхідно знати довжину її ребра, у підставі і на бічній поверхні.
Для чого потрібно знати властивості шестикутної призми?
Як було сказано у вступі, ці призми зустрічаються в природі в металах. Зокрема, атомна кристалічна упаковка титану, цинку, цирконію, магнію і деяких інших металів має форму шестикутної призми, в основі якої лежать 7 атомів (6 у вершинах і 1 в центрі). Від співвідношення довжини ребра цієї фігури до довжині сторони підстави залежать багато механічні властивості цих металів (деформаційні та пружні характеристики).
Вище наведений приклад цієї упаковки атомів, який носить скорочена назва ГПУ (гексагональна щільна упаковка).
