Часто у фізиці доводиться розв’язувати задачі на розрахунок рівноваги в складних системах, мають безліч діючих сил, важелів і осей обертання. У цьому випадку простіше всього використовувати поняття моменту сили. У даній статті наводяться всі необхідні формули з докладними поясненнями, які слід використовувати для вирішення завдань названого типу.
Про що піде мова?
Багато людей, напевно, звертали увагу, що якщо впливати з якою-небудь силою на предмет, закріплений в деякій точці, то він починає обертатися. Яскравим прикладом може служити двері в будинок або в кімнату. Якщо її взяти за ручку і штовхнути (прикласти силу), то вона почне відкриватися (повертатися на петлях). Цей процес являє собою прояв у побуті дії фізичної величини, яка отримала назву моменту сили.
З описаного прикладу з дверима випливає, що розглянута величина вказує на здатність сили здійснювати обертання, що є її фізичним змістом. Також цю величину називають моментом кручення.
Визначення моменту сили
Перед тим як дати визначення розглянутої величиною, наведемо простий малюнок.
Отже, на малюнку зображено важіль (синього кольору), який закріплений на осі (зелений колір). Цей важіль має довжину d, а до його кінця прикладена сила F, Що буде в цьому випадку відбуватися з системою? Вірно, важіль почне обертатися проти годинникової стрілки, якщо дивитися на нього зверху (відзначимо, що якщо трохи напружити свою уяву і уявити, що погляд спрямований знизу на важіль, то він буде обертатися за годинниковою стрілкою).
Нехай точка закріплення осі називається O, а точка прикладання сили – P. Тоді, можна записати наступне математичне вираз:
OP* F = MFO.
Де OP – це вектор, який направлений від осі до кінця важеля, він також називається важелем сили, F – вектор прикладеної сили до точки P, а MFO – це момент сили відносно точки O (осі). Ця формула є математичним визначенням даної фізичної величини.
Напрямок моменту і правило правої руки
Вираз вище являє собою векторний добуток. Як відомо, його результатом також є вектор, який перпендикулярний площині, що проходить через відповідні вектора-множники. Цій умові задовольняють два напрямки величини MFO (вниз і вгору).
Щоб однозначно визначити, слід скористатися так званим правилом правої руки. Його можна сформулювати таким чином: якщо зігнути в полудугу чотири пальці правої руки і направити цю полудугу так, щоб вона йшла вздовж першого вектора (перший множник у формулі) і прямувала до кінця другого, тоді оттопыренный вгору великий палець вкаже напрям моменту кручення. Зазначимо також, що перед тим як використовувати це правило, необхідно встановити умножаемые вектора так, щоб вони виходили з однієї точки (їх початку повинні збігатися).
У разі малюнка в попередньому пункті можна сказати, застосувавши правило правої руки, що момент сили відносно осі буде спрямований вгору, тобто на нас.
Крім зазначеного способу визначення напрямку вектора MFO, існує ще два. Наведемо їх:
- Момент крутіння буде спрямований таким чином, що якщо дивитися з кінця вектора на обертовий важіль, то останній буде рухатися проти ходу стрілки годинника. Загальноприйнято вважати цей напрямок моменту позитивним при вирішенні різного роду задач.
- Якщо закручувати буравчик за годинниковою стрілкою, то момент кручення буде спрямований у бік руху (поглиблення) буравчика.
Всі наведені визначення є еквівалентними, тому кожен може вибрати те, що зручно для нього.
Отже, було з’ясовано, що напрямок моменту сили є паралельним осі, навколо якої обертається відповідний важіль.
Прикладена під кутом сила
Розглянемо рисунок, який наведений нижче.
Тут ми також бачимо важіль довжиною L, закріплений в точці (вказана стрілкою). На нього діє сила F, однак, спрямована вона під деяким кутом Φ (фі) до горизонтального важеля. Напрямок моменту MFO в цьому випадку буде таким же, як і на попередньому малюнку (на нас). Щоб обчислити абсолютне значення або модуль цієї величини, необхідно скористатися властивістю векторного добутку. Згідно йому для розглянутого прикладу, можна записати вираз: MFO = L*F*sin(180 o-Φ) або, скориставшись властивістю синуса, перепишемо:
MFO = L*F*sin(Φ).
На малюнку наведено також добудований прямокутний трикутник, сторонами якого є сам важіль (гіпотенуза), лінія дії сили (катет) і сторона довжиною d (другий катет). Враховуючи, що sin(Φ) = d/L, зазначена формула прийме вигляд: MFO = d*F. Видно, що дистанція d – це відстань від точки закріплення важеля до лінії дії сили, тобто d – важіль сили.
Обидві розглянуті в цьому пункті формули, які слідують безпосередньо з визначення моменту кручення, є корисними при вирішенні практичних завдань.
Одиниці вимірювання моменту кручення
Скориставшись визначенням, можна встановити, що величина MFO повинна вимірюватися в ньютонах на метр (Н*м). Дійсно, у вигляді цих одиниць вона і використовується в СІ.
Зазначимо, що Н*м – це одиниця вимірювання роботи, яка виражається в джоулях, як і енергія. Тим не менш джоулі для концепції моменту сили не використовують, оскільки ця величина відображає саме можливість здійснення останньої. Однак зв’язок з одиницею роботи є: якщо в результаті дії сили F виконаний повний поворот важеля навколо його точки обертання O, тоді досконала робота буде дорівнювати A = MFO*2*pi (2*pi – кут в радіанах, який відповідає 360o). У цьому випадку одиницю вимірювання моменту MFO можна виразити в джоулях на радіан (Дж/рад). Остання, поряд з Н*м, також використовується в системі СІ.
Теорема Вариньона
В кінці XVII століття французький математик П’єр Вариньон, вивчаючи рівновагу систем з важелями, вперше сформулював теорему, яка тепер носить його прізвище. Вона формулюється так: сумарний момент кількох сил дорівнює моменту результуючої однієї сили, яка прикладена до деякої точки відносно тієї ж осі обертання. Математично її можна записати наступним чином:
M1+M2+…+Mn = M = d*∑ni=1(Fi) = d*F.
Цю теорему зручно використовувати для розрахунку моментів кручення в системах з декількома діючими силами.
Далі наведемо приклад використання наведений вище формул для розв’язування задач з фізики.
Завдання з гайковим ключем
Один з яскравих прикладів демонстрації важливість врахування моменту сили є процес відкручування гайок ключем. Щоб відкрутити гайку, потрібно докласти деякий момент кручення. Необхідно розрахувати, яку силу треба прикласти в точці A, щоб почати відкручувати гайку, якщо ця сила в точці B дорівнює 300 Н (див. малюнок нижче).
З наведеного малюнка випливають дві важливі речі: по-перше, відстань OB в два рази більше, ніж OA; по-друге, сили FA і FB спрямовані перпендикулярно до відповідного важелю з віссю обертання, що збігається з центром гайки (точка O).
Момент крутіння для цього випадку можна записати у скалярної формі так: M = OB*FB = OA*FA. Оскільки OB/OA = 2, то це рівність буде виконуватися тільки тоді, коли FA буде більше FB в 2 рази. З умови задачі одержуємо, що FA = 2*300 = 600 Н. Тобто, чим більше довжина ключа, тим легше відкручувати гайку.
Завдання з двома кулями різної маси
На малюнку нижче наведена система, яка знаходиться в рівновазі. Необхідно знайти положення точки опори, якщо довжина дошки дорівнює 3 метри.
Так як система знаходиться в рівновазі, то сума моментів всіх сил дорівнює нулю. На дошку діють три сили (ваги двох куль і сила реакції опори). Оскільки сила опори не створює моменту кручення (довжина важеля дорівнює нулю), то залишається тільки два моменти, що створюються вагою кульок.
Нехай точка рівноваги знаходиться на відстані x від краю, де лежить куля масою 100 кг. Тоді можна записати рівність: M1-M2 = 0. Оскільки вага тіла визначається за формулою m*g, тоді маємо: m1*g*x – m2*g*(3-x) =0. Скорочуємо g і підставляємо дані, отримуємо: 100*x – 5*(3-x) = 0 => x = 15/105= 0,143 м або 14,3 див.
Таким чином, щоб система перебувала в рівновазі, необхідно встановити опорну точку на відстані 14,3 см від краю, де буде лежати куля масою 100 кг.
