Циліндр є однією з простих об’ємних фігур, яку вивчають у шкільному курсі геометрії (розділ стереометрія). При цьому часто виникають задачі на розрахунок обсягу і маси циліндра, а також на визначення площі його поверхні. Відповіді на зазначені питання наведено в цій статті.
Що таке циліндр?
Перед тим як переходити до відповіді на питання, чому дорівнює маса циліндра і його обсяг, варто розглянути, що являє собою ця просторова фігура. Відразу необхідно зазначити, що циліндр – це тривимірний об’єкт. Тобто в просторі можна виміряти три його параметра по кожній з осей в декартовій прямокутній системі координат. Насправді для однозначного визначення розмірів циліндра достатньо знати всього два його параметра.
Циліндр – це об’ємна фігура, утворена двома колами і циліндричною поверхнею. Щоб ясніше уявити цей об’єкт, достатньо взяти прямокутник і почати обертати його навколо будь-якої його сторони, яка буде віссю обертання. В цьому випадку обертається прямокутник опише фігуру обертання – циліндр.
Дві круглі поверхні називаються підставами циліндра, вони характеризуються певним радіусом. Відстань між основами називається висотою. Два підстави з’єднані між собою циліндричною поверхнею. Лінія, що проходить через центри обох кіл, називається віссю циліндра.
Об’єм і площа поверхні
Як можна помітити з вищесказаного, циліндр визначається двома параметрами: висотою h і радіусом його заснування r. Знаючи ці параметри, можна розрахувати всі інші характеристики розглянутого тіла. Нижче наводяться основні з них:
- Площа підстав. Ця величина розраховується за формулою: S1 = 2*pi*r2, де pi – число пі, що дорівнює 3,14. Цифра 2 у формулі з’являється тому, що циліндр має два однакових підстави.
- Площа циліндричної поверхні. Її можна розрахувати так: S2 = 2*pi*r*h. Зрозуміти цю формулу просто: якщо циліндричну поверхню розрізати вертикально від однієї основи до іншої і розгорнути, то вийде прямокутник, висота якого дорівнює висоті циліндра, а ширина буде відповідати довжині окружності підстави об’ємної фігури. Оскільки площа отриманого прямокутника – це витвір його сторін, які дорівнюють h і 2*pi*r, то виходить представлена вище формула.
- Площа поверхні циліндра. Вона дорівнює сумі площ S1 і S2, отримуємо: S3 = S1 + S2 = 2*pi*r2 + 2*pi*r*h = 2*pi*r*(r+h).
- Обсяг. Ця величина знаходиться просто, необхідно лише помножити площу однієї підстави на висоту фігури: V = (S1/2)*h = pi*r2*h.
Визначення маси циліндра
Нарешті, варто перейти безпосередньо до теми статті. Як визначити масу циліндра? Для цього необхідно знати його обсяг, формула для обчислення якого була представлена вище. І густину речовини, з якої він складається. Маса визначається за простою формулою: m = ρ*V, де ρ – щільність матеріалу, що утворює розглядуваний об’єкт.
Поняття щільності характеризує масу речовини, яка знаходиться в одиниці об’єму простору. Наприклад. Відомо, що залізо має більшу щільність, ніж дерево. Це означає, що у випадку однакових обсягів речовини заліза і дерева перше буде мати набагато більшу масу, ніж друге (приблизно в 16 разів).
Розрахунок маси мідного циліндра
Розглянемо просту задачу. Необхідно знайти масу циліндра, зробленого з міді. Для визначеності нехай циліндр має діаметр 20 см і заввишки 10 див.
Перед тим як приступати до розв’язування задачі, слід розібратися з вихідними даними. Радіус циліндра дорівнює половині діаметра, значить r = 20/2 = 10 см, висота складає h = 10 див. Оскільки розглянутий у задачі циліндр зроблений з міді, то, звертаючись до довідковим даним, виписуємо значення щільності цього матеріалу: ρ = 8,96 г/см3 (для температури 20 °C).
Тепер можна приступати до розв’язування задачі. Для початку розрахуємо об’єм: V =pi*r2*h = 3,14*(10)2*10 = 3140 см3. Тоді маса циліндра дорівнює: m = ρ*V = 8,96 * 3140 = 28134 грам або приблизно 28 кілограм.
Слід звернути увагу на розмірність одиниць під час їх використання у відповідних формулах. Так, в задачі всі параметри були представлені в сантиметрах і грамах.
Однорідний і порожнистий циліндри
З отриманого вище результату можна бачити, що мідний циліндр з відносно малими розмірами (10 см) володіє великою масою (28 кг). Це пов’язано не тільки з тим, що він зроблений з важкого матеріалу, але і з тим, що він є однорідним. Цей факт важливо розуміти, оскільки наведену вище формулу для розрахунку маси можна використовувати тільки у випадку, якщо циліндр повністю (зовні і всередині) складається з одного і того ж матеріалу, тобто є однорідним.
На практиці ж часто використовують порожнисті циліндри (наприклад, циліндричні бочки для води). Тобто вони зроблені з тонких листів якогось матеріалу, а всередині є порожніми. Для порожнистого циліндра зазначеної формулою розрахунку маси користуватися не можна.
Розрахунок маси порожнього циліндра
Цікаво розрахувати, якою масою буде володіти циліндр з міді, якщо він є порожнім всередині. Для прикладу нехай він буде зроблений з тонкого мідного листа товщиною d = 2 мм
Щоб вирішити цю задачу, потрібно знайти об’єм самої міді, з якої зроблений об’єкт. А не обсяг циліндра. Оскільки товщина листа мала порівняно з розмірами циліндра (d = 2 мм і r = 10 см), тоді обсяг міді, з якої виготовлений предмет, можна знайти, якщо помножити всю площу поверхні циліндра на товщину мідного листа, отримуємо: V = d*S3 = d*2*pi*r*(r+h). Підставляючи дані з попередньої задачі, отримаємо: V = 0,2*2*3,14*10*(10+10) = 251,2 см3. Масу порожнього циліндра можна отримати, якщо помножити отриманий обсяг міді, який знадобився для його виготовлення, на щільність міді: m = 251,2 * 8,96 = 2251 г або 2,3 кг. тобто розглянутий порожнистий циліндр важить у 12 (28,1/2,3) разів менше, ніж однорідний.
