Значення змінних в математиці велике, адже за час її існування науковці встигли зробити безліч відкриттів у цій галузі, і, щоб коротко і ясно викласти ту чи іншу теорему, ми користуємося змінними для запису відповідних формул. Наприклад, теорема Піфагора про прямокутному трикутнику: a2 = b2 + c2. Ніж кожен раз при вирішенні завдання писати: за теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів – ми записуємо це формулою, і все відразу стає зрозуміло.
Отже, в цій статті піде мова про те, що таке змінні, про їх види та властивості. Також будуть розглянуті різні математичні вирази: нерівності, формули, системи та алгоритми їх вирішення.
Поняття змінної
Для початку дізнаємося, що таке змінна? Це числова величина, яка може приймати безліч значень. Вона не може бути постійною, так як в різних завданнях і рівняннях для зручності рішення ми приймаємо за змінну різні числа, тобто, наприклад, z – це загальне позначення для кожної з величин, які її приймають. Зазвичай їх позначають літерами латинського чи грецького алфавіту (x, y, a, b і так далі).
Є різні види змінних. Ними задаються як деякі фізичні величини – шлях (S), часом (t), так і просто невідомі значення в рівняннях, функціях та інших виразах.
Наприклад, є формула: S = Vt. Тут змінними позначаються певні величини, що мають відношення до реального світу – шлях, швидкість і час.
А є рівняння виду: 3x – 16 = 12x. Тут вже за x приймається абстрактне число, яке має сенс в даній запису.
Види величин
Під величиною мається на увазі те, що виражає властивості певного предмета, речовини чи явища. Наприклад, температура повітря, маса тварини, процентний вміст вітамінів в таблетці – це всі величини, числові значення яких можна обчислити.
Для кожної величини є свої одиниці вимірювання, які всі разом утворюють систему. Її називають системою числення (сч).
Що таке змінні та постійні величини? Розглянемо їх на конкретних прикладах.
Візьмемо прямолінійний рівномірний рух. Точка в просторі рухається з однаковою швидкістю на кожному проміжку часу. Тобто змінюються час і відстань, а швидкість залишається однаковою. В даному прикладі час і відстань – змінні величини, а швидкість – постійна.
Або, наприклад, “пі”. Це ірраціональне число, яке триває без повторюваної послідовності цифр і не може бути записано повністю, тому в математиці воно виражається загальноприйнятим символом, який приймає лише значення даної нескінченного дробу. Тобто “пі” – це постійна величина.
Історія
Історія позначення змінних починається в сімнадцятому столітті з вченого Рене Декарта.
Відомі величини він позначив першими літерами алфавіту: a, b і так далі, а для невідомих запропонував використовувати останні літери: x, y, z. Примітним є те, що такі змінні Декарт вважав неотрицательными числами, а при зіткненні з негативними параметрами ставив знак мінус перед змінною або, якщо було невідомо, яким по знаку є число, три крапки. Але з часом найменуваннями змінних стали позначати числа будь-якого знака, і почалося це з математика Йоганна Hudde.
З змінними обчислення в математиці вирішуються простіше, адже як, наприклад, зараз ми вирішуємо биквадратные рівняння? Вводимо змінну. Наприклад:
x4 + 15×2 + 7 = 0
За x2 приймаємо якесь k, і рівняння набуває зрозумілий вигляд:
x2 = k, k ≥ 0
k2 + 15k + 7 = 0
Ось яку користь в математику несе введення змінних.
Нерівності, приклади рішення
Нерівність являє собою запис, в якій два математичні вирази або два числа пов’язані знаками порівняння: , ≤, ≥. Вони бувають суворими і позначаються знаками або несуворими зі знаками ≤, ≥.
Вперше ці знаки ввів Томас Гарріот. Після смерті Томаса вийшла його книга з цими позначеннями, математикам вони сподобалися, і з часом їх стали повсюдно вживати в математичних обчисленнях.
Існує кілька правил, які потрібно дотримуватися при вирішенні нерівностей з однією змінною:
- При перенесенні числа з однієї частини нерівності в іншу міняємо його знак на протилежний.
- При множення або ділення частин нерівності на від’ємне число їх знаки змінюються на протилежні.
- Якщо помножити або розділити обидві частини нерівності на позитивне число, то вийде нерівність, рівний вихідному.
Розв’язати нерівність – означає знайти всі допустимі значення змінної.
Приклад з однією змінною:
10x – 50 > 150
Вирішуємо, як звичайне лінійне рівняння – переносимо доданки зі змінною вліво, без змінної – вправо і приводимо подібні члени:
10x > 200
Поділимо обидві частини нерівності на 10 і отримуємо:
x > 20
Для наочності в прикладі розв’язку нерівності з однією змінною зображуємо числову пряму, відзначаємо на ній проколоту точку 20, так як суворе нерівність, і дане число не входить в безліч його рішень.
Рішенням цієї нерівності буде проміжок (20; +∞).
Рішення нестрогого нерівності здійснюється так само, як і суворого:
6x – 12 ≥ 18
6x ≥ 30
x ≥ 5
Але є один виняток. Запис виду x ≥ 5 потрібно розуміти так: ікс більше або дорівнює п’яти, означає число п’ять входить у множину всіх розв’язків нерівності, тобто, записуючи відповідь, ми ставимо квадратну дужку перед числом п’ять.
x ∈ [5; +∞)
Квадратні нерівності
Якщо взяти квадратне рівняння виду ax2 + bx +c = 0 і змінити в ньому знак одно на знак нерівності, то відповідно отримаємо квадратне нерівність.
Щоб вирішити квадратне нерівність, треба вміти вирішувати квадратні рівняння.
y = ax2 + bx + c – це квадратична функція. Її ми можемо вирішити з допомогою дискримінанта, або використовуючи теорему Вієта. Згадаймо, як вирішуються подібні рівняння:
1) y = x2 + 12x + 11 – функція є параболою. Її гілки спрямовані вгору, так як знак коефіцієнта “a” позитивний.
2) x2 + 12x + 11 = 0 – прирівнюємо до нуля і розв’язуємо за допомогою дискримінанта.
a = 1, b = 12, c = 11
D = b2 – 4ac= 144 – 44 = 100 > 0, 2 кореня
За формулою коренів квадратного рівняння отримуємо:
x1 = -1, x2 = -11
Чи можна було вирішити це рівняння за теоремою Вієта:
x1 + x2 = -b/a, x1 + x2 = -12
x1x2 = c/a, x1x2 = 11
Методом підбору отримуємо такі ж корені рівняння.
Парабола
Отже, перший спосіб вирішення квадратного нерівності – це парабола. Алгоритм її вирішення такий:
1. Визначаємо, куди спрямовані гілки параболи.
2. Прирівнюємо функцію до нуля і знаходимо корені рівняння.
3. Будуємо числову пряму, відзначаємо на ній коріння, проводимо параболу і знаходимо потрібний нам проміжок залежно від того, який у нерівності знак.
Вирішимо нерівність x2 + x – 12 > 0
Виписуємо у вигляді функції:
1) y = x2 + x – 12 – парабола, вітки вгору.
Прирівнюємо до нуля.
2) x2 + x -12 = 0
Далі вирішуємо як квадратне рівняння і знаходимо нулі функції:
x1 = 3, x2 = -4
3) Зображуємо числову пряму і на ній точки 3 і -4. Парабола пройде через них, гілками вгору і відповіддю до нерівності буде безліч позитивних значень, тобто (-∞; -4), (3; +∞).
Метод інтервалів
Другий спосіб – це метод інтервалів. Алгоритм рішення:
1. Знаходимо корені рівняння, при яких нерівність дорівнює нулю.
2. Відзначаємо їх на числовій прямій. Таким чином вона ділиться на кілька інтервалів.
3. Визначаємо знак будь-якого інтервалу.
4. Розставляємо знаки в інших інтервалів, міняючи їх через один.
Вирішимо нерівність (x – 4)(x – 5)(x + 7) ≤ 0
1) Нулі нерівності: 4, 5 і -7.
2) Зображуємо їх на числовій прямій.
3) Визначаємо знаки інтервалів.
Відповідь: (-∞; -7]; [4; 5].
Вирішимо ще одне нерівність: x2(3x – 6)(x + 2)(x – 1) > 0
1. Нулі нерівності: 0, 2, 2 і 1.
2. Відзначаємо їх на числовій прямій.
3. Визначаємо знаки інтервалів.
Пряма ділиться на проміжки – від -2 до 0, від 0 до 1, від 1 до 2.
Візьмемо значення на першому проміжку – (-1). Підставляємо в нерівність. При даному значенні нерівність стає позитивним, значить і знак на цьому проміжку буде +.
Далі, починаючи від першого проміжку, розставляємо знаки, міняючи їх через один.
Нерівність більше нуля, тобто треба знайти безліч позитивних значень на прямій.
Відповідь: (-2; 0), (1; 2).
Системи рівнянь
Системою рівнянь з двома змінними називають два рівняння, об’єднаних фігурною дужкою, для яких необхідно знайти спільне рішення.
Системи можуть бути рівносильними, якщо загальне рішення одного з них є рішенням іншого, або вони обидві не мають рішень.
Ми вивчимо рішення систем рівнянь з двома змінними. Є два способи їх вирішення – метод підстановки або алгебраїчний метод.
Алгебраїчний метод
Щоб вирішити систему, зображену на картинці, даним методом, спочатку необхідно помножити одну з її частин на таке число, щоб потім мати можливість взаємно знищити одну змінну з обох частин рівняння. Тут ми множимо на три, підводимо риску під системою і складаємо її частини. У підсумку ікси стають однакові за модулем, але протилежні за знаком, і ми їх скорочуємо. Далі отримуємо лінійне рівняння з однією змінною і вирішуємо його.
Ігрек ми знайшли, але на цьому ми не можемо зупинитися, адже ми ще не знайшли ікс. Підставляємо ігрек в ту частину, з якої зручно буде вивести ікс, наприклад:
-x + 5y = 8 , при y = 1
-x + 5 = 8
Вирішуємо отримане рівняння і знаходимо ікс.
-x = -5 + 8
-x = 3
x = -3
Головне в рішенні системи – правильно записати відповідь. Багато школярі роблять помилку і пишуть:
Відповідь: -3, 1.
Але це неправильний запис. Адже, як вже писалося вище, вирішуючи систему рівнянь, ми шукаємо спільне рішення для його частин. Правильною буде відповідь:
(-3; 1)
Метод підстановки
Це, мабуть, найпростіший метод, в якому важко зробити помилку. Візьмемо систему рівнянь номер 1 з цієї картинки.
У першій її частині ікс вже приведений до потрібного нам виду, тому нам залишається тільки підставити його в інше рівняння:
5y + 3y – 25 = 47
Переносимо число без змінної вправо, наводимо подібні доданки до загального значення і знаходимо ігрек:
8y = 72
y = 9
Потім, як і в алгебраїчному методі, підставляємо значення игрека в будь-яке рівняння і знаходимо ікс:
x = 3y – 25, при y = 9
x = 27 – 25
x = 2
Відповідь: (2; 9).
